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Theorem fmulcl 27814
Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmulcl.1  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
fmulcl.2  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )
fmulcl.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
fmulcl.5  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmulcl.6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
fmulcl.7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
fmulcl  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    f, Y, g    ph, f, g
Allowed substitution hints:    ph( t)    P( t, f, g)    U( t, f, g)    M( t, f, g)    N( t, f, g)    X( t, f, g)    Y( t)

Proof of Theorem fmulcl
Dummy variables  h  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmulcl.2 . 2  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )
2 fmulcl.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
3 elfzuz 10810 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
5 simpl 443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ph )
6 elfzuz3 10811 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
72, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
8 fzss2 10847 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... M
) )
97, 8syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  C_  ( 1 ... M ) )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
1 ... N )  C_  ( 1 ... M
) )
11 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... N
) )  ->  h  e.  ( 1 ... N
) )
1210, 11jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 1 ... N
)  C_  ( 1 ... M )  /\  h  e.  ( 1 ... N ) ) )
13 ssel2 3188 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  C_  ( 1 ... M )  /\  h  e.  ( 1 ... N ) )  ->  h  e.  ( 1 ... M ) )
1412, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... N
) )  ->  h  e.  ( 1 ... M
) )
155, 14jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( ph  /\  h  e.  ( 1 ... M ) ) )
16 fmulcl.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
1716adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... M
) )  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
18 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... M
) )  ->  h  e.  ( 1 ... M
) )
1917, 18jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  h  e.  ( 1 ... M ) ) )
20 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  h  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( U `  h )  e.  Y
)
2119, 20syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  h )  e.  Y )
2215, 21syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( U `  h )  e.  Y )
23 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  ->  h  e.  Y )
24 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
l  e.  Y )
25 fmulcl.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
2625adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  ->  T  e.  _V )
27 mptexg 5761 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  _V  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  _V )
2826, 27syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  _V )
2923, 24, 283jca 1132 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( h  e.  Y  /\  l  e.  Y  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  _V ) )
30 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  t )  =  ( h `  t ) )
3130adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( f `  t
)  =  ( h `
 t ) )
32 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  l  ->  (
g `  t )  =  ( l `  t ) )
3332adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( g `  t
)  =  ( l `
 t ) )
3431, 33oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  =  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )
3534mpteq2dv 4123 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) ) )
36 fmulcl.1 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
3735, 36ovmpt2ga 5993 . . . . 5  |-  ( ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  _V )  ->  ( h P l )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) ) )
3829, 37syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( h P l )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
39 3simpc 954 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )
40 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f  e.  Y  <->  h  e.  Y ) )
41403anbi2d 1257 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )
) )
4230oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
4342mpteq2dv 4123 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) )
4443eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  Y ) )
4541, 44imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
) ) )
46 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  l  ->  (
g  e.  Y  <->  l  e.  Y ) )
47463anbi3d 1258 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  l  ->  (
( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )
) )
4832oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  l  ->  (
( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
4948mpteq2dv 4123 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  l  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
5049eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  l  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  Y ) )
5147, 50imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( g  =  l  ->  (
( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) ) )
52 fmulcl.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
5352a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
) )
5445, 51, 53vtocl2ga 2864 . . . . . 6  |-  ( ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) )
5539, 54mpcom 32 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  Y )
56553expb 1152 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
)
5738, 56eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( h P l )  e.  Y )
584, 22, 57seqcl 11082 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y )
591, 58syl5eqel 2380 1  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1c1 8754    x. cmul 8758   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062
This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  27815  stoweidlem51  27903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063
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