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Theorem fmulcl 27380
Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmulcl.1  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
fmulcl.2  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )
fmulcl.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
fmulcl.5  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmulcl.6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
fmulcl.7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
fmulcl  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    f, Y, g    ph, f, g
Allowed substitution hints:    ph( t)    P( t, f, g)    U( t, f, g)    M( t, f, g)    N( t, f, g)    X( t, f, g)    Y( t)

Proof of Theorem fmulcl
Dummy variables  h  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmulcl.2 . 2  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )
2 fmulcl.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
3 elfzuz 10988 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
5 elfzuz3 10989 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6 fzss2 11025 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... M
) )
72, 5, 63syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  C_  ( 1 ... M ) )
87sselda 3292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... N
) )  ->  h  e.  ( 1 ... M
) )
9 fmulcl.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
109fnvinran 27354 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  h )  e.  Y )
118, 10syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( U `  h )  e.  Y )
12 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  ->  h  e.  Y )
13 simprr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
l  e.  Y )
14 fmulcl.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
1514adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  ->  T  e.  _V )
16 mptexg 5905 . . . . . 6  |-  ( T  e.  _V  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  _V )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  _V )
18 fveq1 5668 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  t )  =  ( h `  t ) )
19 fveq1 5668 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  l  ->  (
g `  t )  =  ( l `  t ) )
2018, 19oveqan12d 6040 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  =  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )
2120mpteq2dv 4238 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) ) )
22 fmulcl.1 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
2321, 22ovmpt2ga 6143 . . . . 5  |-  ( ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  _V )  ->  ( h P l )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) ) )
2412, 13, 17, 23syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( h P l )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
25 3simpc 956 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )
26 eleq1 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f  e.  Y  <->  h  e.  Y ) )
27263anbi2d 1259 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )
) )
2818oveq1d 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
2928mpteq2dv 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) )
3029eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  Y ) )
3127, 30imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
) ) )
32 eleq1 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  l  ->  (
g  e.  Y  <->  l  e.  Y ) )
33323anbi3d 1260 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  l  ->  (
( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )
) )
3419oveq2d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  l  ->  (
( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
3534mpteq2dv 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  l  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
3635eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  l  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  Y ) )
3733, 36imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( g  =  l  ->  (
( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) ) )
38 fmulcl.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
3931, 37, 38vtocl2g 2959 . . . . . 6  |-  ( ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) )
4025, 39mpcom 34 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  Y )
41403expb 1154 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
)
4224, 41eqeltrd 2462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( h P l )  e.  Y )
434, 11, 42seqcl 11271 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y )
441, 43syl5eqel 2472 1  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    C_ wss 3264    e. cmpt 4208   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023   1c1 8925    x. cmul 8929   ZZ>=cuz 10421   ...cfz 10976    seq cseq 11251
This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  27381  stoweidlem51  27469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-seq 11252
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