Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmuldfeq Structured version   Unicode version

Theorem fmuldfeq 27691
 Description: X and Z are two equivalent definitions of the finite product of real functions. Y is a set of real functions from a common domain T, Y is closed under function multiplication and U is a finite sequence of functions in Y. M is the number of functions multiplied together. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeq.1
fmuldfeq.2
fmuldfeq.3
fmuldfeq.4
fmuldfeq.5
fmuldfeq.6
fmuldfeq.7
fmuldfeq.8
fmuldfeq.9
fmuldfeq.10
fmuldfeq.11
Assertion
Ref Expression
fmuldfeq
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   (,)   ()   (,,,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem fmuldfeq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmuldfeq.8 . . . . . 6
21nnge1d 10044 . . . . 5
32adantr 453 . . . 4
4 nnre 10009 . . . . . 6
5 leid 9171 . . . . . 6
61, 4, 53syl 19 . . . . 5
76adantr 453 . . . 4
81nnzd 10376 . . . . . 6
98adantr 453 . . . . 5
10 1z 10313 . . . . . 6
1110a1i 11 . . . . 5
12 elfz 11051 . . . . 5
139, 11, 9, 12syl3anc 1185 . . . 4
143, 7, 13mpbir2and 890 . . 3
1513ad2ant1 979 . . . 4
16 eleq1 2498 . . . . . . 7
17163anbi3d 1261 . . . . . 6
18 fveq2 5730 . . . . . . . 8
1918fveq1d 5732 . . . . . . 7
20 fveq2 5730 . . . . . . 7
2119, 20eqeq12d 2452 . . . . . 6
2217, 21imbi12d 313 . . . . 5
23 eleq1 2498 . . . . . . 7
24233anbi3d 1261 . . . . . 6
25 fveq2 5730 . . . . . . . 8
2625fveq1d 5732 . . . . . . 7
27 fveq2 5730 . . . . . . 7
2826, 27eqeq12d 2452 . . . . . 6
2924, 28imbi12d 313 . . . . 5
30 eleq1 2498 . . . . . . 7
31303anbi3d 1261 . . . . . 6
32 fveq2 5730 . . . . . . . 8
3332fveq1d 5732 . . . . . . 7
34 fveq2 5730 . . . . . . 7
3533, 34eqeq12d 2452 . . . . . 6
3631, 35imbi12d 313 . . . . 5
37 eleq1 2498 . . . . . . 7
38373anbi3d 1261 . . . . . 6
39 fveq2 5730 . . . . . . . 8
4039fveq1d 5732 . . . . . . 7
41 fveq2 5730 . . . . . . 7
4240, 41eqeq12d 2452 . . . . . 6
4338, 42imbi12d 313 . . . . 5
44 seq1 11338 . . . . . . . 8
4510, 44ax-mp 8 . . . . . . 7
46 1le1 9652 . . . . . . . . . . . . 13
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4810a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
49 elfz 11051 . . . . . . . . . . . . 13
5048, 48, 8, 49syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12
5147, 2, 50mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11
52 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12
53 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13
54 fmuldfeq.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 nfmpt1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5755, 56nfmpt 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5854, 57nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6058, 59nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160, 52nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . 14
62 nffvmpt1 5738 . . . . . . . . . . . . . 14
6361, 62nfeq 2581 . . . . . . . . . . . . 13
6453, 63nfim 1833 . . . . . . . . . . . 12
65 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14
66 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14
6765, 66eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . 13
6867imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12
69 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069mptex 5968 . . . . . . . . . . . . . 14
7154fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71mpan2 654 . . . . . . . . . . . . 13
7372fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . 12
7452, 64, 68, 73vtoclgf 3012 . . . . . . . . . . 11
7551, 74syl 16 . . . . . . . . . 10
7675imp 420 . . . . . . . . 9
7751adantr 453 . . . . . . . . . 10
78 fmuldfeq.9 . . . . . . . . . . . . 13
7978, 51ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12
8079ancli 536 . . . . . . . . . . . 12
81 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
8281anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14
83 feq1 5578 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 83imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13
85 fmuldfeq.10 . . . . . . . . . . . . . 14
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
8784, 86vtoclga 3019 . . . . . . . . . . . 12
8879, 80, 87sylc 59 . . . . . . . . . . 11
8988ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . 10
90 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
9190fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11
92 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
9391, 92fvmptg 5806 . . . . . . . . . 10
9477, 89, 93syl2anc 644 . . . . . . . . 9
9576, 94eqtrd 2470 . . . . . . . 8
96 seq1 11338 . . . . . . . . . 10
9710, 96ax-mp 8 . . . . . . . . 9
9897fveq1i 5731 . . . . . . . 8
9995, 98syl6eqr 2488 . . . . . . 7
10045, 99syl5req 2483 . . . . . 6
1011003adant3 978 . . . . 5
102 simp31 994 . . . . . . 7
103 simp1 958 . . . . . . . . . 10
104 simp33 996 . . . . . . . . . 10
105103, 104jca 520 . . . . . . . . 9
106 elnnuz 10524 . . . . . . . . . . 11
107106biimpi 188 . . . . . . . . . 10
108107anim1i 553 . . . . . . . . 9
109 peano2fzr 11071 . . . . . . . . 9
110105, 108, 1093syl 19 . . . . . . . 8
111 simp32 995 . . . . . . . . 9
112 simp2 959 . . . . . . . . 9
113102, 111, 110, 112mp3and 1283 . . . . . . . 8
114110, 104, 1133jca 1135 . . . . . . 7
115 nfv 1630 . . . . . . . . 9
116 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
117 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
118 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
119 fmuldfeq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
120 nfmpt21 6142 . . . . . . . . . . . . . . 15
121119, 120nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . 14
122 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
123118, 121, 122nfseq 11335 . . . . . . . . . . . . 13
124 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13
125123, 124nffv 5737 . . . . . . . . . . . 12
126 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12
127125, 126nffv 5737 . . . . . . . . . . 11
128 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11
129127, 128nfeq 2581 . . . . . . . . . 10
130116, 117, 129nf3an 1850 . . . . . . . . 9
131115, 130nfan 1847 . . . . . . . 8
132 nfv 1630 . . . . . . . . 9
133 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
134 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
135 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
136 nfmpt22 6143 . . . . . . . . . . . . . . 15
137119, 136nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . 14
138 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
139135, 137, 138nfseq 11335 . . . . . . . . . . . . 13
140 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13
141139, 140nffv 5737 . . . . . . . . . . . 12
142 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12
143141, 142nffv 5737 . . . . . . . . . . 11
144 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11
145143, 144nfeq 2581 . . . . . . . . . 10
146133, 134, 145nf3an 1850 . . . . . . . . 9
147132, 146nfan 1847 . . . . . . . 8
148 fmuldfeq.2 . . . . . . . 8
149 fmuldfeq.7 . . . . . . . . 9
150149adantr 453 . . . . . . . 8
15178adantr 453 . . . . . . . 8
152 fmuldfeq.11 . . . . . . . . 9
1531523adant1r 1178 . . . . . . . 8
154 simpr1 964 . . . . . . . 8
155 simpr2 965 . . . . . . . 8
156 simpr3 966 . . . . . . . 8
15785adantlr 697 . . . . . . . 8
158131, 147, 148, 119, 54, 150, 151, 153, 154, 155, 156, 157fmuldfeqlem1 27690 . . . . . . 7
159102, 114, 111, 158syl21anc 1184 . . . . . 6
1601593exp 1153 . . . . 5
16122, 29, 36, 43, 101, 160nnind 10020 . . . 4
16215, 161mpcom 35 . . 3
16314, 162mpd3an3 1281 . 2
164 fmuldfeq.4 . . . 4
165164fveq1i 5731 . . 3
166165a1i 11 . 2
167 simpr 449 . . 3
168 elnnuz 10524 . . . . . 6
1691, 168sylib 190 . . . . 5
170169adantr 453 . . . 4
171 fmuldfeq.1 . . . . . . . 8
172171, 53nfan 1847 . . . . . . 7
173 nfv 1630 . . . . . . 7
174172, 173nfan 1847 . . . . . 6
175 nfcv 2574 . . . . . . . 8
17660, 175nffv 5737 . . . . . . 7
177176nfel1 2584 . . . . . 6
178174, 177nfim 1833 . . . . 5
179 eleq1 2498 . . . . . . 7
180179anbi2d 686 . . . . . 6
181 fveq2 5730 . . . . . . 7
182181eleq1d 2504 . . . . . 6
183180, 182imbi12d 313 . . . . 5
18473ad2antlr 709 . . . . . 6
185 simpr 449 . . . . . . . 8
18678ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . 11
187 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12
188187, 186jca 520 . . . . . . . . . . 11
189 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
190189anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . 13
191 feq1 5578 . . . . . . . . . . . . 13
192190, 191imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12
193192, 86vtoclga 3019 . . . . . . . . . . 11
194186, 188, 193sylc 59 . . . . . . . . . 10
195194adantlr 697 . . . . . . . . 9
196 simplr 733 . . . . . . . . 9
197195, 196ffvelrnd 5873 . . . . . . . 8
19892fvmpt2 5814 . . . . . . . 8
199185, 197, 198syl2anc 644 . . . . . . 7
200199, 197eqeltrd 2512 . . . . . 6
201184, 200eqeltrd 2512 . . . . 5
202178, 183, 201chvar 1969 . . . 4
203 remulcl 9077 . . . . 5
204203adantl 454 . . . 4
205170, 202, 204seqcl 11345 . . 3
206 fmuldfeq.6 . . . 4
207206fvmpt2 5814 . . 3
208167, 205, 207syl2anc 644 . 2
209163, 166, 2083eqtr4d 2480 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561  cvv 2958   class class class wbr 4214   cmpt 4268  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  cr 8991  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   cle 9123  cn 10002  cz 10284  cuz 10490  cfz 11045   cseq 11325 This theorem is referenced by:  stoweidlem42  27769  stoweidlem48  27775 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-seq 11326
 Copyright terms: Public domain W3C validator