Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmuldfeq Unicode version

Theorem fmuldfeq 27816
 Description: X and Z are two equivalent definitions of the finite product of real functions. Y is a set of real functions from a common domain T, Y is closed under function multiplication and U is a finite sequence of functions in Y. M is the number of functions multiplied together. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeq.1
fmuldfeq.2
fmuldfeq.3
fmuldfeq.4
fmuldfeq.5
fmuldfeq.6
fmuldfeq.7
fmuldfeq.8
fmuldfeq.9
fmuldfeq.10
fmuldfeq.11
Assertion
Ref Expression
fmuldfeq
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   (,)   ()   (,,,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem fmuldfeq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4
2 simpr 447 . . . 4
3 fmuldfeq.8 . . . . . . . 8
4 nnge1 9788 . . . . . . . 8
53, 4syl 15 . . . . . . 7
65adantr 451 . . . . . 6
7 nnre 9769 . . . . . . . . 9
83, 7syl 15 . . . . . . . 8
9 leid 8932 . . . . . . . 8
108, 9syl 15 . . . . . . 7
1110adantr 451 . . . . . 6
126, 11jca 518 . . . . 5
13 nnz 10061 . . . . . . . . 9
143, 13syl 15 . . . . . . . 8
1514adantr 451 . . . . . . 7
16 1z 10069 . . . . . . . 8
1716a1i 10 . . . . . . 7
1815, 17, 153jca 1132 . . . . . 6
19 elfz 10804 . . . . . 6
2018, 19syl 15 . . . . 5
2112, 20mpbird 223 . . . 4
221, 2, 213jca 1132 . . 3
2333ad2ant1 976 . . . 4
24 eleq1 2356 . . . . . . 7
25243anbi3d 1258 . . . . . 6
26 fveq2 5541 . . . . . . . 8
2726fveq1d 5543 . . . . . . 7
28 fveq2 5541 . . . . . . 7
2927, 28eqeq12d 2310 . . . . . 6
3025, 29imbi12d 311 . . . . 5
31 eleq1 2356 . . . . . . 7
32313anbi3d 1258 . . . . . 6
33 fveq2 5541 . . . . . . . 8
3433fveq1d 5543 . . . . . . 7
35 fveq2 5541 . . . . . . 7
3634, 35eqeq12d 2310 . . . . . 6
3732, 36imbi12d 311 . . . . 5
38 eleq1 2356 . . . . . . 7
39383anbi3d 1258 . . . . . 6
40 fveq2 5541 . . . . . . . 8
4140fveq1d 5543 . . . . . . 7
42 fveq2 5541 . . . . . . 7
4341, 42eqeq12d 2310 . . . . . 6
4439, 43imbi12d 311 . . . . 5
45 eleq1 2356 . . . . . . 7
46453anbi3d 1258 . . . . . 6
47 fveq2 5541 . . . . . . . 8
4847fveq1d 5543 . . . . . . 7
49 fveq2 5541 . . . . . . 7
5048, 49eqeq12d 2310 . . . . . 6
5146, 50imbi12d 311 . . . . 5
52 seq1 11075 . . . . . . . 8
5316, 52ax-mp 8 . . . . . . 7
54 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554leidi 9323 . . . . . . . . . . . . . 14
5655a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
5756, 5jca 518 . . . . . . . . . . . 12
5816a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
5958, 58, 143jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13
60 elfz 10804 . . . . . . . . . . . . 13
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . 12
6257, 61mpbird 223 . . . . . . . . . . 11
63 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
64 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13
65 fmuldfeq.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
66 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
67 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6866, 67nfmpt 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6965, 68nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7169, 70nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271, 63nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . 14
73 nffvmpt1 5549 . . . . . . . . . . . . . 14
7472, 73nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . 13
7564, 74nfim 1781 . . . . . . . . . . . 12
76 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14
7876, 77eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13
7978imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12
80 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180mptex 5762 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281jctr 526 . . . . . . . . . . . . . . 15
8365fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
8584fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13
8685a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
8763, 75, 79, 86vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . 11
8862, 87syl 15 . . . . . . . . . 10
8988imp 418 . . . . . . . . 9
9062adantr 451 . . . . . . . . . . 11
91 fmuldfeq.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9291, 62jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
93 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594ancli 534 . . . . . . . . . . . . . . 15
96 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9796anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
98 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9997, 98imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 fmuldfeq.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101100a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10299, 101vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15
10394, 95, 102sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14
104103adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
105104, 2jca 518 . . . . . . . . . . . 12
106 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
107105, 106syl 15 . . . . . . . . . . 11
10890, 107jca 518 . . . . . . . . . 10
109 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
110109fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11
111 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
112110, 111fvmptg 5616 . . . . . . . . . 10
113108, 112syl 15 . . . . . . . . 9
11489, 113eqtrd 2328 . . . . . . . 8
115 seq1 11075 . . . . . . . . . 10
11616, 115ax-mp 8 . . . . . . . . 9
117116fveq1i 5542 . . . . . . . 8
118114, 117syl6eqr 2346 . . . . . . 7
11953, 118syl5req 2341 . . . . . 6
1201193adant3 975 . . . . 5
121 simp31 991 . . . . . . . 8
122 simp32 992 . . . . . . . 8
123 simp1 955 . . . . . . . . . . 11
124 simp33 993 . . . . . . . . . . 11
125123, 124jca 518 . . . . . . . . . 10
126 elnnuz 10280 . . . . . . . . . . . . . 14
127126biimpi 186 . . . . . . . . . . . . 13
128127adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
129 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
130128, 129jca 518 . . . . . . . . . . 11
131 peano2fzr 10824 . . . . . . . . . . 11
132130, 131syl 15 . . . . . . . . . 10
133125, 132syl 15 . . . . . . . . 9
134121, 122, 1333jca 1132 . . . . . . . . . 10
135 simp2 956 . . . . . . . . . 10
136134, 135mpd 14 . . . . . . . . 9
137133, 124, 1363jca 1132 . . . . . . . 8
138121, 122, 1373jca 1132 . . . . . . 7
139 3simpb 953 . . . . . . . . 9
140 simp2 956 . . . . . . . . 9
141139, 140jca 518 . . . . . . . 8
142 nfv 1609 . . . . . . . . . 10
143 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11
144 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11
145 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15
146 fmuldfeq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
147 nfmpt21 5930 . . . . . . . . . . . . . . . 16
148146, 147nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15
149 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15
150145, 148, 149nfseq 11072 . . . . . . . . . . . . . 14
151 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14
152150, 151nffv 5548 . . . . . . . . . . . . 13
153 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13
154152, 153nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12
155 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
156154, 155nfeq 2439 . . . . . . . . . . 11
157143, 144, 156nf3an 1786 . . . . . . . . . 10
158142, 157nfan 1783 . . . . . . . . 9
159 nfv 1609 . . . . . . . . . 10
160 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11
161 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11
162 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15
163 nfmpt22 5931 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164146, 163nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15
165 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15
166162, 164, 165nfseq 11072 . . . . . . . . . . . . . 14
167 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14
168166, 167nffv 5548 . . . . . . . . . . . . 13
169 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13
170168, 169nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12
171 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
172170, 171nfeq 2439 . . . . . . . . . . 11
173160, 161, 172nf3an 1786 . . . . . . . . . 10
174159, 173nfan 1783 . . . . . . . . 9
175 fmuldfeq.2 . . . . . . . . 9
176 fmuldfeq.7 . . . . . . . . . 10
177176adantr 451 . . . . . . . . 9
17891adantr 451 . . . . . . . . 9
179 simp1l 979 . . . . . . . . . . 11
180 simp2 956 . . . . . . . . . . 11
181 simp3 957 . . . . . . . . . . 11
182179, 180, 1813jca 1132 . . . . . . . . . 10
183 fmuldfeq.11 . . . . . . . . . 10
184182, 183syl 15 . . . . . . . . 9
185 simpr1 961 . . . . . . . . 9
186 simpr2 962 . . . . . . . . 9
187 simpr3 963 . . . . . . . . 9
188 simpll 730 . . . . . . . . . . 11
189 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
190188, 189jca 518 . . . . . . . . . 10
191190, 100syl 15 . . . . . . . . 9
192158, 174, 175, 146, 65, 177, 178, 184, 185, 186, 187, 191fmuldfeqlem1 27815 . . . . . . . 8
193141, 192syl 15 . . . . . . 7
194138, 193syl 15 . . . . . 6
1951943exp 1150 . . . . 5
19630, 37, 44, 51, 120, 195nnind 9780 . . . 4
19723, 196mpcom 32 . . 3
19822, 197syl 15 . 2
199 fmuldfeq.4 . . . 4
200199fveq1i 5542 . . 3
201200a1i 10 . 2
202 elnnuz 10280 . . . . . . . 8
203202biimpi 186 . . . . . . 7
2043, 203syl 15 . . . . . 6
205204adantr 451 . . . . 5
206 simpr 447 . . . . . 6
207 id 19 . . . . . 6
208 nfcv 2432 . . . . . . 7
209 fmuldfeq.1 . . . . . . . . . 10
210209, 64nfan 1783 . . . . . . . . 9
211 nfv 1609 . . . . . . . . 9
212210, 211nfan 1783 . . . . . . . 8
21371, 208nffv 5548 . . . . . . . . 9
214 nfcv 2432 . . . . . . . . 9
215213, 214nfel 2440 . . . . . . . 8
216212, 215nfim 1781 . . . . . . 7
217 eleq1 2356 . . . . . . . . 9
218217anbi2d 684 . . . . . . . 8
219 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
220219eleq1d 2362 . . . . . . . 8
221218, 220imbi12d 311 . . . . . . 7
22285ad2antlr 707 . . . . . . . . 9
223 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
22491adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
225 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
226224, 225jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
227 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
228226, 227syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
229 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
230229, 228jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
231 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
232231anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
233 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
234232, 233imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
235234, 101vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16
236228, 230, 235sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15
237236adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14
238 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
239237, 238jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
240 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
241239, 240syl 15 . . . . . . . . . . . 12
242223, 241jca 518 . . . . . . . . . . 11
243111fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . 11
244242, 243syl 15 . . . . . . . . . 10
245244, 241eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9
246222, 245eqeltrd 2370 . . . . . . . 8
247246a1i 10 . . . . . . 7
248208, 216, 221, 247vtoclgaf 2861 . . . . . 6
249206, 207, 248sylc 56 . . . . 5
250 simprl 732 . . . . . . 7
251 simprr 733 . . . . . . 7
252250, 251jca 518 . . . . . 6
253 remulcl 8838 . . . . . 6
254252, 253syl 15 . . . . 5
255205, 249, 254seqcl 11082 . . . 4
2562, 255jca 518 . . 3
257 fmuldfeq.6 . . . 4
258257fvmpt2 5624 . . 3
259256, 258syl 15 . 2
260198, 201, 2593eqtr4d 2338 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419  cvv 2801   class class class wbr 4039   cmpt 4093  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  cr 8752  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   cle 8884  cn 9762  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798   cseq 11062 This theorem is referenced by:  stoweidlem42  27894  stoweidlem48  27900 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063
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