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Theorem fmuldfeq 27816
Description: X and Z are two equivalent definitions of the finite product of real functions. Y is a set of real functions from a common domain T, Y is closed under function multiplication and U is a finite sequence of functions in Y. M is the number of functions multiplied together. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeq.1  |-  F/ i
ph
fmuldfeq.2  |-  F/_ t Y
fmuldfeq.3  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
fmuldfeq.4  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
fmuldfeq.5  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
fmuldfeq.6  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
fmuldfeq.7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
fmuldfeq.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fmuldfeq.9  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeq.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
fmuldfeq.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
fmuldfeq  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
Distinct variable groups:    t, T    f, g, t, T    f,
i, t, T    f, F, g    f, M, g    U, f, g, t    f, Y, g    ph, f, g   
i, M    U, i
Allowed substitution hints:    ph( t, i)    P( t, f, g, i)    F( t, i)    M( t)    X( t, f, g, i)    Y( t, i)    Z( t, f, g, i)

Proof of Theorem fmuldfeq
Dummy variables  k 
b  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ph )
2 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
3 fmuldfeq.8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4 nnge1 9788 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
53, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  <_  M )
7 nnre 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
83, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
9 leid 8932 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  RR  ->  M  <_  M )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
1110adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  <_  M )
126, 11jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  <_  M  /\  M  <_  M ) )
13 nnz 10061 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
143, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1514adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ZZ )
16 1z 10069 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
1716a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  ZZ )
1815, 17, 153jca 1132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
19 elfz 10804 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
2018, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
2112, 20mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
221, 2, 213jca 1132 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  (
1 ... M ) ) )
2333ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  M  e.  NN )
24 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
25243anbi3d 1258 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
26 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) )
2726fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 1 ) `  t ) )
28 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
) )
2927, 28eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) ) )
3025, 29imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) ) ) )
31 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  n  e.  ( 1 ... M
) ) )
32313anbi3d 1258 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
33 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) )
3433fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 n ) `  t ) )
35 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  n
) )
3634, 35eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
3732, 36imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) ) )
38 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
39383anbi3d 1258 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
40 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) )
4140fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( n  + 
1 ) ) `  t ) )
42 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  (
n  +  1 ) ) )
4341, 42eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
4439, 43imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
45 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  M  e.  ( 1 ... M
) ) )
46453anbi3d 1258 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
47 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) )
4847fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M ) `  t ) )
49 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
) )
5048, 49eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) ) )
5146, 50imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) ) ) )
52 seq1 11075 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
)  =  ( ( F `  t ) `
 1 ) )
5316, 52ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
)  =  ( ( F `  t ) `
 1 )
54 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
5554leidi 9323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <_  1
5655a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  1 )
5756, 5jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  1  /\  1  <_  M ) )
5816a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
5958, 58, 143jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)
60 elfz 10804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 1 ... M )  <-> 
( 1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
6257, 61mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
63 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
1
64 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  t  e.  T
65 fmuldfeq.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
66 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i T
67 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
6866, 67nfmpt 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
6965, 68nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i F
70 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i
t
7169, 70nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
( F `  t
)
7271, 63nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  1
)
73 nffvmpt1 5549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) ` 
1 )
7472, 73nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
7564, 74nfim 1781 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
)
76 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) ` 
1 ) )
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
)
7876, 77eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  i )  <->  ( ( F `  t
) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 ) ) )
7978imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  i )
)  <->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) ` 
1 ) ) ) )
80 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
8180mptex 5762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  e.  _V
8281jctr 526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  T  ->  (
t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V ) )
8365fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
8482, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
8584fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
8685a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
t  e.  T  -> 
( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  i )
) )
8763, 75, 79, 86vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  ->  (
t  e.  T  -> 
( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
) )
8862, 87syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
) )
8988imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 ) )
9062adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  ( 1 ... M
) )
91 fmuldfeq.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
9291, 62jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
93 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( U `  1 )  e.  Y )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U `  1
)  e.  Y )
9594ancli 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y ) )
96 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  1 )  e.  Y ) )
9796anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  1
)  e.  Y ) ) )
98 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  1 ) : T --> RR ) )
9997, 98imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y )  -> 
( U `  1
) : T --> RR ) ) )
100 fmuldfeq.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
101100a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Y  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR ) )
10299, 101vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U `  1 )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y )  ->  ( U `  1 ) : T --> RR ) )
10394, 95, 102sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U `  1
) : T --> RR )
104103adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( U `  1 ) : T --> RR )
105104, 2jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  1
) : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
106 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U `  1
) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( U ` 
1 ) `  t
)  e.  RR )
107105, 106syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  1
) `  t )  e.  RR )
10890, 107jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U ` 
1 ) `  t
)  e.  RR ) )
109 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( U `  i )  =  ( U ` 
1 ) )
110109fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( U `  i
) `  t )  =  ( ( U `
 1 ) `  t ) )
111 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
112110, 111fvmptg 5616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U ` 
1 ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 )  =  ( ( U ` 
1 ) `  t
) )
113108, 112syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  1
)  =  ( ( U `  1 ) `
 t ) )
11489, 113eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( ( U `
 1 ) `  t ) )
115 seq1 11075 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
)  =  ( U `
 1 ) )
11616, 115ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
)  =  ( U `
 1 )
117116fveq1i 5542 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 ( P ,  U ) ` 
1 ) `  t
)  =  ( ( U `  1 ) `
 t )
118114, 117syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )
)
11953, 118syl5req 2341 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 1 ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) ` 
1 ) )
1201193adant3 975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) )
121 simp31 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ph )
122 simp32 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  t  e.  T )
123 simp1 955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  n  e.  NN )
124 simp33 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
125123, 124jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
126 elnnuz 10280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
127126biimpi 186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
128127adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
129 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... M ) )
130128, 129jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) )
131 peano2fzr 10824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M ) )
132130, 131syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M ) )
133125, 132syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M
) )
134121, 122, 1333jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) ) )
135 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
136134, 135mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
137133, 124, 1363jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
138121, 122, 1373jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  e.  (
1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) ) )
139 3simpb 953 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  ( ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) ) )
140 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  t  e.  T )
141139, 140jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  (
( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  t  e.  T
) )
142 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f
ph
143 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f  n  e.  ( 1 ... M )
144 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
145 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ f
1
146 fmuldfeq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
147 nfmpt21 5930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ f
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
148146, 147nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ f P
149 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ f U
150145, 148, 149nfseq 11072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f  seq  1 ( P ,  U )
151 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f
n
152150, 151nffv 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 n )
153 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f
t
154152, 153nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f
( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )
155 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 n )
156154, 155nfeq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n )
157143, 144, 156nf3an 1786 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
158142, 157nfan 1783 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
159 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g
ph
160 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g  n  e.  ( 1 ... M )
161 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
162 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ g
1
163 nfmpt22 5931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ g
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
164146, 163nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ g P
165 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ g U
166162, 164, 165nfseq 11072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ g  seq  1 ( P ,  U )
167 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ g
n
168166, 167nffv 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ g
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 n )
169 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ g
t
170168, 169nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ g
( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )
171 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ g
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 n )
172170, 171nfeq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n )
173160, 161, 172nf3an 1786 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
174159, 173nfan 1783 . . . . . . . . 9  |-  F/ g ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
175 fmuldfeq.2 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t Y
176 fmuldfeq.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
177176adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  T  e.  _V )
17891adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
179 simp1l 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ph )
180 simp2 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  f  e.  Y )
181 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  g  e.  Y )
182179, 180, 1813jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )
)
183 fmuldfeq.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
184182, 183syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
185 simpr1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M
) )
186 simpr2 962 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
187 simpr3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
188 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y
)  ->  ph )
189 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y
)  ->  f  e.  Y )
190188, 189jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y
)  ->  ( ph  /\  f  e.  Y ) )
191190, 100syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y
)  ->  f : T
--> RR )
192158, 174, 175, 146, 65, 177, 178, 184, 185, 186, 187, 191fmuldfeqlem1 27815 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
193141, 192syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( n  + 
1 ) ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1
) ) )
194138, 193syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
1951943exp 1150 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  ->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
19630, 37, 44, 51, 120, 195nnind 9780 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 M ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) ) )
19723, 196mpcom 32 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
19822, 197syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 M ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
199 fmuldfeq.4 . . . 4  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
200199fveq1i 5542 . . 3  |-  ( X `
 t )  =  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  M ) `  t )
201200a1i 10 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )
)
202 elnnuz 10280 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
203202biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2043, 203syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
205204adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
206 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  k  e.  ( 1 ... M
) )
207 id 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) ) )
208 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ i
k
209 fmuldfeq.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i
ph
210209, 64nfan 1783 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  T )
211 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  k  e.  ( 1 ... M )
212210, 211nfan 1783 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  (
1 ... M ) )
21371, 208nffv 5548 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  k
)
214 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i RR
215213, 214nfel 2440 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  k
)  e.  RR
216212, 215nfim 1781 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR )
217 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  k  e.  ( 1 ... M
) ) )
218217anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  (
1 ... M ) ) ) )
219 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  k ) )
220219eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  e.  RR  <->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR ) )
221218, 220imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR ) ) )
22285ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
223 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
22491adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
225 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
226224, 225jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
227 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( U `  i )  e.  Y
)
228226, 227syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
229 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
230229, 228jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y
) )
231 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  i )  e.  Y
) )
232231anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  Y ) ) )
233 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
234232, 233imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
235234, 101vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
236228, 230, 235sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
237236adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
238 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
239237, 238jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
240 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U `  i
) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )
241239, 240syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
242223, 241jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR ) )
243111fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i )  =  ( ( U `  i ) `  t
) )
244242, 243syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t ) )
245244, 241eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  e.  RR )
246222, 245eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  e.  RR )
247246a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( ( F `
 t ) `  i )  e.  RR ) )
248208, 216, 221, 247vtoclgaf 2861 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( ( F `
 t ) `  k )  e.  RR ) )
249206, 207, 248sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  k )  e.  RR )
250 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
k  e.  RR  /\  b  e.  RR )
)  ->  k  e.  RR )
251 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
k  e.  RR  /\  b  e.  RR )
)  ->  b  e.  RR )
252250, 251jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
k  e.  RR  /\  b  e.  RR )
)  ->  ( k  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )
253 remulcl 8838 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( k  x.  b
)  e.  RR )
254252, 253syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
k  e.  RR  /\  b  e.  RR )
)  ->  ( k  x.  b )  e.  RR )
255205, 249, 254seqcl 11082 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
2562, 255jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR ) )
257 fmuldfeq.6 . . . 4  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
258257fvmpt2 5624 . . 3  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
259256, 258syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
260198, 201, 2593eqtr4d 2338 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062
This theorem is referenced by:  stoweidlem42  27894  stoweidlem48  27900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063
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