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Theorem fmuldfeq 27691
Description: X and Z are two equivalent definitions of the finite product of real functions. Y is a set of real functions from a common domain T, Y is closed under function multiplication and U is a finite sequence of functions in Y. M is the number of functions multiplied together. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeq.1  |-  F/ i
ph
fmuldfeq.2  |-  F/_ t Y
fmuldfeq.3  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
fmuldfeq.4  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
fmuldfeq.5  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
fmuldfeq.6  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
fmuldfeq.7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
fmuldfeq.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fmuldfeq.9  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeq.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
fmuldfeq.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
fmuldfeq  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
Distinct variable groups:    t, T    f, g, t, T    f,
i, t, T    f, F, g    f, M, g    U, f, g, t    f, Y, g    ph, f, g   
i, M    U, i
Allowed substitution hints:    ph( t, i)    P( t, f, g, i)    F( t, i)    M( t)    X( t, f, g, i)    Y( t, i)    Z( t, f, g, i)

Proof of Theorem fmuldfeq
Dummy variables  k 
b  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmuldfeq.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21nnge1d 10044 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
32adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  <_  M )
4 nnre 10009 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5 leid 9171 . . . . . 6  |-  ( M  e.  RR  ->  M  <_  M )
61, 4, 53syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
76adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  <_  M )
81nnzd 10376 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ZZ )
10 1z 10313 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  ZZ )
12 elfz 11051 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
139, 11, 9, 12syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
143, 7, 13mpbir2and 890 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
1513ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  M  e.  NN )
16 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
17163anbi3d 1261 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
18 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) )
1918fveq1d 5732 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 1 ) `  t ) )
20 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
) )
2119, 20eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) ) )
2217, 21imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) ) ) )
23 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  n  e.  ( 1 ... M
) ) )
24233anbi3d 1261 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
25 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) )
2625fveq1d 5732 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 n ) `  t ) )
27 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  n
) )
2826, 27eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
2924, 28imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) ) )
30 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
31303anbi3d 1261 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
32 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) )
3332fveq1d 5732 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( n  + 
1 ) ) `  t ) )
34 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  (
n  +  1 ) ) )
3533, 34eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
3631, 35imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
37 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  M  e.  ( 1 ... M
) ) )
38373anbi3d 1261 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
39 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) )
4039fveq1d 5732 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M ) `  t ) )
41 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
) )
4240, 41eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) ) )
4338, 42imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) ) ) )
44 seq1 11338 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
)  =  ( ( F `  t ) `
 1 ) )
4510, 44ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
)  =  ( ( F `  t ) `
 1 )
46 1le1 9652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <_  1
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  1 )
4810a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
49 elfz 11051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
5048, 48, 8, 49syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 1 ... M )  <-> 
( 1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
5147, 2, 50mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
52 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
1
53 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  t  e.  T
54 fmuldfeq.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
55 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i T
56 nfmpt1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
5755, 56nfmpt 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
5854, 57nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i F
59 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i
t
6058, 59nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
( F `  t
)
6160, 52nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  1
)
62 nffvmpt1 5738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) ` 
1 )
6361, 62nfeq 2581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
6453, 63nfim 1833 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
)
65 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) ` 
1 ) )
66 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
)
6765, 66eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  i )  <->  ( ( F `  t
) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 ) ) )
6867imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  i )
)  <->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) ` 
1 ) ) ) )
69 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
7069mptex 5968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  e.  _V
7154fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
7270, 71mpan2 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
7372fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  T  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
7452, 64, 68, 73vtoclgf 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  ->  (
t  e.  T  -> 
( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
) )
7551, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
) )
7675imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 ) )
7751adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  ( 1 ... M
) )
78 fmuldfeq.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
7978, 51ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U `  1
)  e.  Y )
8079ancli 536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y ) )
81 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  1 )  e.  Y ) )
8281anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  1
)  e.  Y ) ) )
83 feq1 5578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  1 ) : T --> RR ) )
8482, 83imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y )  -> 
( U `  1
) : T --> RR ) ) )
85 fmuldfeq.10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Y  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR ) )
8784, 86vtoclga 3019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  1 )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y )  ->  ( U `  1 ) : T --> RR ) )
8879, 80, 87sylc 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U `  1
) : T --> RR )
8988ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  1
) `  t )  e.  RR )
90 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( U `  i )  =  ( U ` 
1 ) )
9190fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( U `  i
) `  t )  =  ( ( U `
 1 ) `  t ) )
92 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
9391, 92fvmptg 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U ` 
1 ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 )  =  ( ( U ` 
1 ) `  t
) )
9477, 89, 93syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  1
)  =  ( ( U `  1 ) `
 t ) )
9576, 94eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( ( U `
 1 ) `  t ) )
96 seq1 11338 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
)  =  ( U `
 1 ) )
9710, 96ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
)  =  ( U `
 1 )
9897fveq1i 5731 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 ( P ,  U ) ` 
1 ) `  t
)  =  ( ( U `  1 ) `
 t )
9995, 98syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )
)
10045, 99syl5req 2483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 1 ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) ` 
1 ) )
1011003adant3 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) )
102 simp31 994 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ph )
103 simp1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  n  e.  NN )
104 simp33 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
105103, 104jca 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
106 elnnuz 10524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
107106biimpi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
108107anim1i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) )
109 peano2fzr 11071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M ) )
110105, 108, 1093syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M
) )
111 simp32 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  t  e.  T )
112 simp2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
113102, 111, 110, 112mp3and 1283 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
114110, 104, 1133jca 1135 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
115 nfv 1630 . . . . . . . . 9  |-  F/ f
ph
116 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f  n  e.  ( 1 ... M )
117 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
118 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f
1
119 fmuldfeq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
120 nfmpt21 6142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ f
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
121119, 120nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f P
122 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f U
123118, 121, 122nfseq 11335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f  seq  1 ( P ,  U )
124 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f
n
125123, 124nffv 5737 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 n )
126 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f
t
127125, 126nffv 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )
128 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 n )
129127, 128nfeq 2581 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n )
130116, 117, 129nf3an 1850 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
131115, 130nfan 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
132 nfv 1630 . . . . . . . . 9  |-  F/ g
ph
133 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g  n  e.  ( 1 ... M )
134 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
135 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ g
1
136 nfmpt22 6143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ g
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
137119, 136nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ g P
138 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ g U
139135, 137, 138nfseq 11335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ g  seq  1 ( P ,  U )
140 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ g
n
141139, 140nffv 5737 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ g
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 n )
142 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ g
t
143141, 142nffv 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )
144 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 n )
145143, 144nfeq 2581 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n )
146133, 134, 145nf3an 1850 . . . . . . . . 9  |-  F/ g ( n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
147132, 146nfan 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ g ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
148 fmuldfeq.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Y
149 fmuldfeq.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
150149adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  T  e.  _V )
15178adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
152 fmuldfeq.11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
1531523adant1r 1178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
154 simpr1 964 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M
) )
155 simpr2 965 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
156 simpr3 966 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
15785adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y
)  ->  f : T
--> RR )
158131, 147, 148, 119, 54, 150, 151, 153, 154, 155, 156, 157fmuldfeqlem1 27690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
159102, 114, 111, 158syl21anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
1601593exp 1153 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  ->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
16122, 29, 36, 43, 101, 160nnind 10020 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 M ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) ) )
16215, 161mpcom 35 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
16314, 162mpd3an3 1281 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 M ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
164 fmuldfeq.4 . . . 4  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
165164fveq1i 5731 . . 3  |-  ( X `
 t )  =  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  M ) `  t )
166165a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )
)
167 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
168 elnnuz 10524 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1691, 168sylib 190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
170169adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
171 fmuldfeq.1 . . . . . . . 8  |-  F/ i
ph
172171, 53nfan 1847 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  T )
173 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ i  k  e.  ( 1 ... M )
174172, 173nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  (
1 ... M ) )
175 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
k
17660, 175nffv 5737 . . . . . . 7  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  k
)
177176nfel1 2584 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  k
)  e.  RR
178174, 177nfim 1833 . . . . 5  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR )
179 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  k  e.  ( 1 ... M
) ) )
180179anbi2d 686 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  (
1 ... M ) ) ) )
181 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  k ) )
182181eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  e.  RR  <->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR ) )
183180, 182imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR ) ) )
18473ad2antlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
185 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
18678ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
187 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
188187, 186jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y
) )
189 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  i )  e.  Y
) )
190189anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  Y ) ) )
191 feq1 5578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
192190, 191imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
193192, 86vtoclga 3019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
194186, 188, 193sylc 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
195194adantlr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
196 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
197195, 196ffvelrnd 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
19892fvmpt2 5814 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i )  =  ( ( U `  i ) `  t
) )
199185, 197, 198syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t ) )
200199, 197eqeltrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  e.  RR )
201184, 200eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  e.  RR )
202178, 183, 201chvar 1969 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  k )  e.  RR )
203 remulcl 9077 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( k  x.  b
)  e.  RR )
204203adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
k  e.  RR  /\  b  e.  RR )
)  ->  ( k  x.  b )  e.  RR )
205170, 202, 204seqcl 11345 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
206 fmuldfeq.6 . . . 4  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
207206fvmpt2 5814 . . 3  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
208167, 205, 207syl2anc 644 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
209163, 166, 2083eqtr4d 2480 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   F/wnf 1554    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561   _Vcvv 2958   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    <_ cle 9123   NNcn 10002   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045    seq cseq 11325
This theorem is referenced by:  stoweidlem42  27769  stoweidlem48  27775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-seq 11326
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