Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmuldfeqlem1 Unicode version

Theorem fmuldfeqlem1 27815
 Description: induction step for the proof of fmuldfeq 27816. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeqlem1.1
fmuldfeqlem1.2
fmuldfeqlem1.3
fmuldfeqlem1.5
fmuldfeqlem1.6
fmuldfeqlem1.7
fmuldfeqlem1.8
fmuldfeqlem1.9
fmuldfeqlem1.10
fmuldfeqlem1.11
fmuldfeqlem1.12
fmuldfeqlem1.13
Assertion
Ref Expression
fmuldfeqlem1
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   ()   ()   (,,,)   (,,)   (,)   (,)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmuldfeqlem1.10 . . . . . . . . 9
2 elfzuz 10810 . . . . . . . . 9
31, 2syl 15 . . . . . . . 8
4 seqp1 11077 . . . . . . . 8
53, 4syl 15 . . . . . . 7
6 fmuldfeqlem1.5 . . . . . . . . . 10
7 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
8 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
9 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
10 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
11 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . 14
1211adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
13 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . 14
1413adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
1512, 14oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12
1615mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11
177, 8, 9, 10, 16cbvmpt2 5941 . . . . . . . . . 10
186, 17eqtri 2316 . . . . . . . . 9
1918a1i 10 . . . . . . . 8
20 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
21 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14
22 fmuldfeqlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2422, 22, 23nfmpt2 5932 . . . . . . . . . . . . . . 15
256, 24nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . 14
26 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14
2721, 25, 26nfseq 11072 . . . . . . . . . . . . 13
28 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12
3020, 29nfeq 2439 . . . . . . . . . . 11
31 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11
3230, 31nfan 1783 . . . . . . . . . 10
33 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . 12
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
35 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . 12
3635ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11
3734, 36oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10
3832, 37mpteq2da 4121 . . . . . . . . 9
3938adantl 452 . . . . . . . 8
40 eqidd 2297 . . . . . . . 8
41 eqid 2296 . . . . . . . . 9
42 fmuldfeqlem1.8 . . . . . . . . 9
43 3simpc 954 . . . . . . . . . 10
44 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
45 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
46 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
47 fmuldfeqlem1.1 . . . . . . . . . . . . 13
48 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13
49 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13
5047, 48, 49nf3an 1786 . . . . . . . . . . . 12
51 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51nfim 1781 . . . . . . . . . . 11
53 fmuldfeqlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13
54 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13
55 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13
5653, 54, 55nf3an 1786 . . . . . . . . . . . 12
57 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12
5856, 57nfim 1781 . . . . . . . . . . 11
59 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . 13
60593anbi2d 1257 . . . . . . . . . . . 12
6111oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
6261mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . 13
6362eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12
6460, 63imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11
65 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . 13
66653anbi3d 1258 . . . . . . . . . . . 12
6713oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14
6867mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . 13
6968eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12
7066, 69imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11
71 fmuldfeqlem1.9 . . . . . . . . . . . 12
7271a1i 10 . . . . . . . . . . 11
7344, 45, 46, 52, 58, 64, 70, 72vtocl2gaf 2863 . . . . . . . . . 10
7443, 73mpcom 32 . . . . . . . . 9
75 fmuldfeqlem1.7 . . . . . . . . 9
7618, 41, 1, 42, 74, 75fmulcl 27814 . . . . . . . 8
77 fmuldfeqlem1.11 . . . . . . . . . 10
7842, 77jca 518 . . . . . . . . 9
79 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9
8078, 79syl 15 . . . . . . . 8
81 mptexg 5761 . . . . . . . . 9
8275, 81syl 15 . . . . . . . 8
83 nfv 1609 . . . . . . . 8
84 nfv 1609 . . . . . . . 8
85 nfcv 2432 . . . . . . . 8
86 nfcv 2432 . . . . . . . 8
87 nfcv 2432 . . . . . . . 8
88 nfcv 2432 . . . . . . . 8
8919, 39, 40, 76, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88ovmpt2dxf 5989 . . . . . . 7
905, 89eqtrd 2328 . . . . . 6
9190fveq1d 5543 . . . . 5
9291adantr 451 . . . 4
93 simpr 447 . . . . . 6
9476ancli 534 . . . . . . . . . . . 12
95 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15
96 nfmpt21 5930 . . . . . . . . . . . . . . . 16
976, 96nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15
9995, 97, 98nfseq 11072 . . . . . . . . . . . . . 14
100 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14
10199, 100nffv 5548 . . . . . . . . . . . . 13
102 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103101, 102nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15
10447, 103nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14
105 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15
106 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15
107101, 105, 106nff 5403 . . . . . . . . . . . . . 14
108104, 107nfim 1781 . . . . . . . . . . . . 13
109 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15
110109anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14
111 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . 14
112110, 111imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13
113 fmuldfeqlem1.13 . . . . . . . . . . . . . 14
114113a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
115101, 108, 112, 114vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . 12
11676, 94, 115sylc 56 . . . . . . . . . . 11
117116adantr 451 . . . . . . . . . 10
118117, 93jca 518 . . . . . . . . 9
119 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9
120118, 119syl 15 . . . . . . . 8
12180ancli 534 . . . . . . . . . . . 12
122 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13
123 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15
12447, 123nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14
125 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . 14
126124, 125nfim 1781 . . . . . . . . . . . . 13
127 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14
129 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . 14
130128, 129imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13
131122, 126, 130, 114vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . 12
13280, 121, 131sylc 56 . . . . . . . . . . 11
133132adantr 451 . . . . . . . . . 10
134133, 93jca 518 . . . . . . . . 9
135 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9
136134, 135syl 15 . . . . . . . 8
137120, 136jca 518 . . . . . . 7
138 remulcl 8838 . . . . . . 7
139137, 138syl 15 . . . . . 6
14093, 139jca 518 . . . . 5
141 eqid 2296 . . . . . 6
142141fvmpt2 5624 . . . . 5
143140, 142syl 15 . . . 4
14492, 143eqtrd 2328 . . 3
145 fmuldfeqlem1.12 . . . . 5
146145oveq1d 5889 . . . 4
148144, 147eqtrd 2328 . 2
149 seqp1 11077 . . . . 5
1503, 149syl 15 . . . 4
152 ovex 5899 . . . . . . . . 9
153 mptexg 5761 . . . . . . . . 9
154152, 153ax-mp 8 . . . . . . . 8
155 fmuldfeqlem1.6 . . . . . . . . 9
156155fvmpt2 5624 . . . . . . . 8
157154, 156mpan2 652 . . . . . . 7
158 nfcv 2432 . . . . . . . 8
159 nfcv 2432 . . . . . . . 8
160 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
161160fveq1d 5543 . . . . . . . 8
162158, 159, 161cbvmpt 4126 . . . . . . 7
163157, 162syl6eq 2344 . . . . . 6
16493, 163syl 15 . . . . 5
165 fveq2 5541 . . . . . . 7
166165fveq1d 5543 . . . . . 6
167166adantl 452 . . . . 5
16877adantr 451 . . . . 5
169164, 167, 168, 136fvmptd 5622 . . . 4
170169oveq2d 5890 . . 3
171151, 170eqtr2d 2329 . 2
172148, 171eqtrd 2328 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419  cvv 2801   cmpt 4093  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  cr 8752  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758  cuz 10246  cfz 10798   cseq 11062 This theorem is referenced by:  fmuldfeq  27816 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063
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