Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmuldfeqlem1 Unicode version

Theorem fmuldfeqlem1 27712
Description: induction step for the proof of fmuldfeq 27713. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeqlem1.1  |-  F/ f
ph
fmuldfeqlem1.2  |-  F/ g
ph
fmuldfeqlem1.3  |-  F/_ t Y
fmuldfeqlem1.5  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
fmuldfeqlem1.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
fmuldfeqlem1.7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
fmuldfeqlem1.8  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeqlem1.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
fmuldfeqlem1.10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.12  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N ) )
fmuldfeqlem1.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
fmuldfeqlem1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( N  +  1
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    f, N, t    U, f, t    f, Y, g    t, i, U   
i, M
Allowed substitution hints:    ph( t, f, g, i)    P( t, f, g, i)    T( i)    U( g)    F( t, f, g, i)    M( t, f, g)    N( g, i)    Y( t, i)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1
Dummy variables  h  l  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmuldfeqlem1.10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
2 elfzuz 10794 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31, 2syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4 seqp1 11061 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) P ( U `  ( N  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) P ( U `  ( N  +  1
) ) ) )
6 fmuldfeqlem1.5 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
7 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
8 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ l
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
9 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )
10 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )
11 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  t )  =  ( h `  t ) )
1211adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( f `  t
)  =  ( h `
 t ) )
13 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  l  ->  (
g `  t )  =  ( l `  t ) )
1413adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( g `  t
)  =  ( l `
 t ) )
1512, 14oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  =  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )
1615mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) ) )
177, 8, 9, 10, 16cbvmpt2 5925 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) )  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
186, 17eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) ) )
1918a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) ) )
20 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
h
21 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
1
22 fmuldfeqlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t Y
23 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
2422, 22, 23nfmpt2 5916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
256, 24nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t P
26 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t U
2721, 25, 26nfseq 11056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t  seq  1 ( P ,  U )
28 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t N
2927, 28nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )
3020, 29nfeq 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)
31 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  l  =  ( U `
 ( N  + 
1 ) )
3230, 31nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )
33 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( h `  t
)  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
) )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( h `  t
)  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
) )
35 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
l `  t )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
3635ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( l `  t
)  =  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) )
3734, 36oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
)  =  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
3832, 37mpteq2da 4105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
)  x.  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
3938adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( h  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) ) )
40 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) )  ->  Y  =  Y )
41 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)
42 fmuldfeqlem1.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
43 3simpc 954 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )
44 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
h
45 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
h
46 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
l
47 fmuldfeqlem1.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ f
ph
48 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ f  h  e.  Y
49 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ f  g  e.  Y
5047, 48, 49nf3an 1774 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ f ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )
51 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ f ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
5250, 51nfim 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)
53 fmuldfeqlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g
ph
54 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g  h  e.  Y
55 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g  l  e.  Y
5653, 54, 55nf3an 1774 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )
57 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
5856, 57nfim 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
)
59 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  (
f  e.  Y  <->  h  e.  Y ) )
60593anbi2d 1257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )
) )
6111oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
6261mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) )
6362eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  Y ) )
6460, 63imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
) ) )
65 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  l  ->  (
g  e.  Y  <->  l  e.  Y ) )
66653anbi3d 1258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  l  ->  (
( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )
) )
6713oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  l  ->  (
( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
6867mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  l  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
6968eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  l  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  Y ) )
7066, 69imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  l  ->  (
( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) ) )
71 fmuldfeqlem1.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
7271a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
) )
7344, 45, 46, 52, 58, 64, 70, 72vtocl2gaf 2850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) )
7443, 73mpcom 32 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  Y )
75 fmuldfeqlem1.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
7618, 41, 1, 42, 74, 75fmulcl 27711 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y )
77 fmuldfeqlem1.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
7842, 77jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
79 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y
)
8078, 79syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )
81 mptexg 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  _V  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  _V )
8275, 81syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )  e. 
_V )
83 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ h ph
84 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ l
ph
85 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ l
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )
86 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ h
( U `  ( N  +  1 ) )
87 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ h
( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )
88 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ l
( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )
8919, 39, 40, 76, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88ovmpt2dxf 5973 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) P ( U `  ( N  +  1
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) )
905, 89eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) )
9190fveq1d 5527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  ( N  +  1 ) ) `
 t )  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
)  x.  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) )
9291adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) ) `  t )  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) `  t ) )
93 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
9476ancli 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y ) )
95 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ f
1
96 nfmpt21 5914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ f
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
976, 96nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ f P
98 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ f U
9995, 97, 98nfseq 11056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f  seq  1 ( P ,  U )
100 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f N
10199, 100nffv 5532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )
102 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ f Y
103101, 102nfel 2427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ f (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y
10447, 103nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ f ( ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y )
105 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ f T
106 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ f RR
107101, 105, 106nff 5387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ f (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR
108104, 107nfim 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ f ( ( ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
)  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR )
109 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( f  e.  Y  <->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
) )
110109anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( ( ph  /\  f  e.  Y )  <->  (
ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y ) ) )
111 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( f : T --> RR 
<->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR ) )
112110, 111imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <->  ( ( ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y )  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR ) ) )
113 fmuldfeqlem1.13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
114113a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Y  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR ) )
115101, 108, 112, 114vtoclgaf 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y  ->  ( ( ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
)  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR ) )
11676, 94, 115sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR )
117116adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR )
118117, 93jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR  /\  t  e.  T ) )
119 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  e.  RR )
120118, 119syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  e.  RR )
12180ancli 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y ) )
122 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f
( U `  ( N  +  1 ) )
123 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ f ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y
12447, 123nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ f ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )
125 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ f ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR
126124, 125nfim 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ f ( ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR )
127 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y
) )
128127anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y ) ) )
129 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) )
130128, 129imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) ) )
131122, 126, 130, 114vtoclgaf 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) )
13280, 121, 131sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR )
133132adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR )
134133, 93jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
135 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
)  e.  RR )
136134, 135syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t )  e.  RR )
137120, 136jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  e.  RR  /\  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
)  e.  RR ) )
138 remulcl 8822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  e.  RR  /\  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
)  x.  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) )  e.  RR )
139137, 138syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) )  e.  RR )
14093, 139jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) )  e.  RR ) )
141 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
142141fvmpt2 5608 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) )  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) ) `  t
)  =  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
143140, 142syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) `  t )  =  ( ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
14492, 143eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) ) `  t )  =  ( ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
145 fmuldfeqlem1.12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N ) )
146145oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 N )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )
147146adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
148144, 147eqtrd 2315 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) ) `  t )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 N )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )
149 seqp1 11061 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
1503, 149syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  ( ( F `
 t ) `  ( N  +  1
) ) ) )
151150adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
152 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
153 mptexg 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... M )  e.  _V  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
154152, 153ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  e.  _V
155 fmuldfeqlem1.6 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
156155fvmpt2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
157154, 156mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
158 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( ( U `  i ) `  t
)
159 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( ( U `  j ) `  t
)
160 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  ( U `  i )  =  ( U `  j ) )
161160fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( U `  i
) `  t )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) )
162158, 159, 161cbvmpt 4110 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) )
163157, 162syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) ) )
16493, 163syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) ) )
165 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  ( U `  j )  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )
166165fveq1d 5527 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( U `  j
) `  t )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
167166adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  j  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( U `  j ) `  t
)  =  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) )
16877adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
169164, 167, 168, 136fvmptd 5606 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
170169oveq2d 5874 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 N )  x.  ( ( F `  t ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 N )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )
171151, 170eqtr2d 2316 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 N )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( N  +  1
) ) )
172148, 171eqtrd 2315 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( N  +  1
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046
This theorem is referenced by:  fmuldfeq  27713
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047
  Copyright terms: Public domain W3C validator