Theorem fn0 3605

Description: A function with empty domain is empty.

Assertion

Ref	Expression
fn0	|- (F Fn (/) <-> F = (/))

Proof of Theorem fn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndm 3587	. . . . 5 |- (F Fn (/) -> dom F = (/))
2		noel 2284	. . . . . . . . . 10 |- -. x e. (/)
3		eleq2 1535	. . . . . . . . . 10 |- (dom F = (/) -> (x e. dom F <-> x e. (/)))
4	2, 3	mtbiri 717	. . . . . . . . 9 |- (dom F = (/) -> -. x e. dom F)
5		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
6	5	eldm2 3308	. . . . . . . . . 10 |- (x e. dom F <-> E.y<.x, y>. e. F)
7	6	negbii 187	. . . . . . . . 9 |- (-. x e. dom F <-> -. E.y<.x, y>. e. F)
8	4, 7	sylib 198	. . . . . . . 8 |- (dom F = (/) -> -. E.y<.x, y>. e. F)
9		alnex 1033	. . . . . . . 8 |- (A.y -. <.x, y>. e. F <-> -. E.y<.x, y>. e. F)
10	8, 9	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (dom F = (/) -> A.y -. <.x, y>. e. F)
11	10	19.21bi 1060	. . . . . 6 |- (dom F = (/) -> -. <.x, y>. e. F)
12		noel 2284	. . . . . 6 |- -. <.x, y>. e. (/)
13	11, 12	jctir 293	. . . . 5 |- (dom F = (/) -> (-. <.x, y>. e. F /\ -. <.x, y>. e. (/)))
14		pm5.21 677	. . . . 5 |- ((-. <.x, y>. e. F /\ -. <.x, y>. e. (/)) -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/)))
15	1, 13, 14	3syl 20	. . . 4 |- (F Fn (/) -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/)))
16	15	19.21aivv 1287	. . 3 |- (F Fn (/) -> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/)))
17		fnrel 3586	. . . . 5 |- (F Fn (/) -> Rel F)
18		rel0 3272	. . . . 5 |- Rel (/)
19	17, 18	jctir 293	. . . 4 |- (F Fn (/) -> (Rel F /\ Rel (/)))
20		eqrel 3250	. . . 4 |- ((Rel F /\ Rel (/)) -> (F = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/))))
21	19, 20	syl 10	. . 3 |- (F Fn (/) -> (F = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/))))
22	16, 21	mpbird 196	. 2 |- (F Fn (/) -> F = (/))
23		df-fn 3193	. . . 4 |- ((/) Fn (/) <-> (Fun (/) /\ dom (/) = (/)))
24		fun0 3544	. . . 4 |- Fun (/)
25		dm0 3323	. . . 4 |- dom (/) = (/)
26	23, 24, 25	mpbir2an 730	. . 3 |- (/) Fn (/)
27		fneq1 3582	. . 3 |- (F = (/) -> (F Fn (/) <-> (/) Fn (/)))
28	26, 27	mpbiri 194	. 2 |- (F = (/) -> F Fn (/))
29	22, 28	impbi 157	1 |- (F Fn (/) <-> F = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  (/)c0 2280  <.cop 2411  dom cdm 3170  Rel wrel 3175  Fun wfun 3176   Fn wfn 3177

This theorem is referenced by:  f0 3656  f00 3657  f1o00 3714  fo00 3715  fconstfv 3849  map0e 4342  ixp0x 4359  hon0 9719

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-fun 3192  df-fn 3193

Copyright terms: Public domain