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Theorem fnchoice 27700
Description: For a finite set, a choice function exists, without using the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
fnchoice  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
Distinct variable group:    x, f, A

Proof of Theorem fnchoice
Dummy variables  g  w  y  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fneq2 5334 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( f  Fn  w  <->  f  Fn  (/) ) )
2 raleq 2736 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  <->  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
31, 2anbi12d 691 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  ( f  Fn  (/)  /\  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
43exbidv 1612 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. f ( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  <->  E. f
( f  Fn  (/)  /\  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
5 fneq2 5334 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
f  Fn  w  <->  f  Fn  y ) )
6 raleq 2736 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  <->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
75, 6anbi12d 691 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
87exbidv 1612 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( E. f ( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  <->  E. f
( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
9 fneq2 5334 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( f  Fn  w  <->  f  Fn  (
y  u.  { z } ) ) )
10 raleq 2736 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
)  <->  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
119, 10anbi12d 691 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  ( f  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
1211exbidv 1612 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( E. f
( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  E. f
( f  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
13 fneq2 5334 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
f  Fn  w  <->  f  Fn  A ) )
14 raleq 2736 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  <->  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
1513, 14anbi12d 691 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
1615exbidv 1612 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( E. f ( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  <->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
17 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (/)  =  (/)
18 fn0 5363 . . . . . 6  |-  ( (/)  Fn  (/) 
<->  (/)  =  (/) )
1917, 18mpbir 200 . . . . 5  |-  (/)  Fn  (/)
20 0ex 4150 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
21 fneq1 5333 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( f  Fn  (/)  <->  (/)  Fn  (/) ) )
2220, 21spcev 2875 . . . . 5  |-  ( (/)  Fn  (/)  ->  E. f  f  Fn  (/) )
2319, 22ax-mp 8 . . . 4  |-  E. f 
f  Fn  (/)
24 ral0 3558 . . . 4  |-  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
)
2523, 24pm3.2i 441 . . 3  |-  ( E. f  f  Fn  (/)  /\  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
2625exan 1823 . 2  |-  E. f
( f  Fn  (/)  /\  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
27 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  z  =  (/) )  -> 
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )
28 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  z  =  (/) )  -> 
z  =  (/) )
29 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  z  =  (/) )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
3027, 28, 293jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  z  =  (/) )  -> 
( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/)  /\  E. f
( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
31 3simpa 952 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/)  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) ) )
32 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/)  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
3331, 32jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/)  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  z  =  (/) )  /\  E. f
( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
34 dffn2 5390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  Fn  y  <->  f :
y --> _V )
3534biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  y  ->  f : y --> _V )
3635ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  f : y --> _V )
37 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
3837a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  z  e.  _V )
39 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
4038, 39jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( z  e. 
_V  /\  -.  z  e.  y ) )
41 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  w  e. 
_V
4241a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  w  e.  _V )
4336, 40, 423jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( f : y --> _V  /\  (
z  e.  _V  /\  -.  z  e.  y
)  /\  w  e.  _V ) )
44 fsnunf 5718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : y --> _V 
/\  ( z  e. 
_V  /\  -.  z  e.  y )  /\  w  e.  _V )  ->  (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) : ( y  u. 
{ z } ) --> _V )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } ) : ( y  u.  { z } ) --> _V )
46 dffn2 5390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) : ( y  u.  { z } ) --> _V )
4745, 46sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  Fn  (
y  u.  { z } ) )
48 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  z  =  (/) )
4948, 39jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y ) )
50 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
5149, 50jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
52 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( z  =  (/)  /\ 
-.  z  e.  y )
53 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x A. x  e.  y 
( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )
5452, 53nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
55 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  y )
56 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  -.  z  e.  y )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  -.  z  e.  y )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  -.  z  e.  y )
5955, 58jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  y  /\  -.  z  e.  y
) )
60 nelne2 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  y  /\  -.  z  e.  y
)  ->  x  =/=  z )
6160necomd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  y  /\  -.  z  e.  y
)  ->  z  =/=  x )
6259, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  z  =/=  x )
63 fvunsn 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =/=  x  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  =  ( f `  x ) )
6462, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  =  ( f `  x ) )
65 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
6766, 55jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  ( A. x  e.  y 
( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  /\  x  e.  y ) )
68 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  x  =/=  (/) )
6967, 68jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
)  /\  x  e.  y )  /\  x  =/=  (/) ) )
70 neeq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  x  ->  (
u  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) ) )
71 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  x  ->  (
f `  u )  =  ( f `  x ) )
7271eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  x  ->  (
( f `  u
)  e.  u  <->  ( f `  x )  e.  u
) )
73 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  x  ->  (
( f `  x
)  e.  u  <->  ( f `  x )  e.  x
) )
7472, 73bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  x  ->  (
( f `  u
)  e.  u  <->  ( f `  x )  e.  x
) )
7570, 74imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  x  ->  (
( u  =/=  (/)  ->  (
f `  u )  e.  u )  <->  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
7675cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. u  e.  y  (
u  =/=  (/)  ->  (
f `  u )  e.  u )  <->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
7775rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. u  e.  y 
( u  =/=  (/)  ->  (
f `  u )  e.  u )  ->  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
7876, 77syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. x  e.  y 
( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  ->  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
7978impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  /\  x  e.  y )  ->  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
8079imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
)  /\  x  e.  y )  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
f `  x )  e.  x )
8169, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
f `  x )  e.  x )
8264, 81eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x )
83 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  z  =  (/) )
8483adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  z  =  (/) )
8584adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  z  =  (/) )
86 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  x  e.  {
z } )
87 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  x  =/=  (/) )
8885, 86, 873jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  ( z  =  (/)  /\  x  e.  {
z }  /\  x  =/=  (/) ) )
89 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  e.  { z } )
90 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  { z }  ->  x  =  z )
9189, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  =  z )
92 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  z  =  (/) )
9391, 92eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  =  (/) )
94 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  =/=  (/) )
95 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
9694, 95sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  -.  x  =  (/) )
9793, 96pm2.65i 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  (
z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )
98 pm2.21 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) )
9997, 98ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x )
10088, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x
)
101 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )
102 elun 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( x  e.  y  \/  x  e.  {
z } ) )
103101, 102sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( x  e.  y  \/  x  e.  { z } ) )
10482, 100, 103mpjaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x )
105104ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) )
106105ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  =  (/)  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  (
x  e.  ( y  u.  { z } )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) ) )
10754, 106ralrimi 2624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  =  (/)  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) )
10851, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) )
10947, 108jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x
) ) )
110109ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  ->  ( ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  -> 
( ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) ) ) )
111110eximdv 1608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  ->  ( E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  E. f
( ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) ) ) )
112 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  f  e. 
_V
113 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. z ,  w >. }  e.  _V
114112, 113pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  _V  /\  { <. z ,  w >. }  e.  _V )
115 unexg 4521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  _V  /\  {
<. z ,  w >. }  e.  _V )  -> 
( f  u.  { <. z ,  w >. } )  e.  _V )
116114, 115ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  e. 
_V
117 fneq1 5333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  (
g  Fn  ( y  u.  { z } )  <->  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  Fn  (
y  u.  { z } ) ) )
118 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  (
g `  x )  =  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x ) )
119118eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  (
( g `  x
)  e.  x  <->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) )
120119imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  <->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) ) )
121120ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  ( A. x  e.  (
y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
)  <->  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) ) )
122117, 121anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  (
( g  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) )  <->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) ) ) )
123122spcegv 2869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  e.  _V  ->  (
( ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) ) )
124116, 123ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
125124eximi 1563 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. f ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x
) )  ->  E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
126111, 125syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  ->  ( E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) ) )
127 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  E. g
( g  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
128127exlimiv 1666 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
129126, 128syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  ->  ( E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  E. g
( g  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) ) )
130129imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
13133, 130syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/)  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
13230, 131syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  z  =  (/) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
133 fneq1 5333 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (
f  Fn  ( y  u.  { z } )  <->  g  Fn  (
y  u.  { z } ) ) )
134 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  x )  =  ( g `  x ) )
135134eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  x
)  e.  x  <->  ( g `  x )  e.  x
) )
136135imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  <->  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
137136ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( A. x  e.  (
y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
)  <->  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
138133, 137anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) ) )
139138cbvexv 1943 . . . . 5  |-  ( E. f ( f  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  <->  E. g
( g  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
140132, 139sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  z  =  (/) )  ->  E. f ( f  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
141 simpllr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  -.  z  e.  y
)
142 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  -.  z  =  (/) )
143 neq0 3465 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  =  (/)  <->  E. w  w  e.  z )
144142, 143sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  E. w  w  e.  z )
145 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
146144, 145jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  -> 
( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
147141, 146jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  -> 
( -.  z  e.  y  /\  ( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) ) )
148 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f  w  e.  z
149 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w
( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
150148, 149eean 1853 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. f ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  <-> 
( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
151 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  f  Fn  y )
15235idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  y  ->  f : y --> _V )
153151, 152syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  f :
y --> _V )
15437a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  z  e.  _V )
155 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
156154, 155jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  ( z  e.  _V  /\  -.  z  e.  y ) )
15741a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  w  e.  _V )
158153, 156, 1573jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  ( f : y --> _V  /\  ( z  e.  _V  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  w  e. 
_V ) )
159158, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) : ( y  u.  { z } ) --> _V )
160159, 46sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  (
y  u.  { z } ) )
161 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  -.  z  e.  y
162 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  w  e.  z
163 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  f  Fn  y
164163, 53nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
165162, 164nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
166161, 165nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
167 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  y )
168 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  -.  z  e.  y
)
169168adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  -.  z  e.  y )
170167, 169jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  y  /\  -.  z  e.  y ) )
17161, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  y  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  =  ( f `  x
) )
172170, 171syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  ( ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
173 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
174173adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
175174adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  y 
( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
176175adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
177176, 167jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  ( A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
)  /\  x  e.  y ) )
178 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  x  =/=  (/) )
179177, 178jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  ( ( A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
)  /\  x  e.  y )  /\  x  =/=  (/) ) )
180179, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  ( f `  x
)  e.  x )
181172, 180eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  ( ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } ) `  x
)  e.  x )
182 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  x  e.  { z } )
183182, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  x  =  z )
184 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  =  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  z ) )
185183, 184syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  =  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  z ) )
18637a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  z  e.  _V )
18741a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  w  e.  _V )
188168adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  -.  z  e.  y )
189151adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  f  Fn  y
)
190189adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  -> 
f  Fn  y )
191190adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  f  Fn  y )
192 fndm 5343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  Fn  y  ->  dom  f  =  y )
193191, 192syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  dom  f  =  y )
194193eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  (
z  e.  dom  f  <->  z  e.  y ) )
195188, 194mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  -.  z  e.  dom  f )
196186, 187, 1953jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  (
z  e.  _V  /\  w  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  f ) )
197 fsnunfv 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  _V  /\  w  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  f )  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  z )  =  w )
198196, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  z )  =  w )
199185, 198eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  =  w )
200 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  w  e.  z )
201200adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  w  e.  z )
202201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  w  e.  z )
203202, 183eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  w  e.  x )
204199, 203eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x )
205 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( y  u.  { z } ) )
206205, 102sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( x  e.  y  \/  x  e.  {
z } ) )
207181, 204, 206mpjaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } ) `  x
)  e.  x )
208207ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x
) )
209208ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( y  u.  {
z } )  -> 
( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) ) )
210166, 209ralrimi 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) )
211160, 210jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) ) )
212211, 124syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  E. g
( g  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
213212ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) ) )
2142132eximdv 1610 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( E. w E. f ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  E. w E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) ) )
215150, 214syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  ->  E. w E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) ) )
216215imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )  ->  E. w E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
217 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) )  ->  E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
218217exlimiv 1666 . . . . . . . 8  |-  ( E. w E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
219218, 128syl 15 . . . . . . 7  |-  ( E. w E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  E. g
( g  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
220216, 219syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
221220, 139sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )  ->  E. f ( f  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
222147, 221syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  E. f ( f  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
223140, 222pm2.61dan 766 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  E. f
( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  E. f ( f  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
224223ex 423 . 2  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  E. f
( f  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
2254, 8, 12, 16, 26, 224findcard2s 7099 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    u. cun 3150   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  stoweidlem31  27780  stoweidlem35  27784  stoweidlem59  27808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
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