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Theorem fnchoice 27369
Description: For a finite set, a choice function exists, without using the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
fnchoice  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
Distinct variable group:    x, f, A

Proof of Theorem fnchoice
Dummy variables  g  w  y  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fneq2 5476 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( f  Fn  w  <->  f  Fn  (/) ) )
2 raleq 2848 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  <->  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
31, 2anbi12d 692 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  ( f  Fn  (/)  /\  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
43exbidv 1633 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. f ( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  <->  E. f
( f  Fn  (/)  /\  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
5 fneq2 5476 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
f  Fn  w  <->  f  Fn  y ) )
6 raleq 2848 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  <->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
75, 6anbi12d 692 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
87exbidv 1633 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( E. f ( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  <->  E. f
( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
9 fneq2 5476 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( f  Fn  w  <->  f  Fn  (
y  u.  { z } ) ) )
10 raleq 2848 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
)  <->  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
119, 10anbi12d 692 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  ( f  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
1211exbidv 1633 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( E. f
( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  E. f
( f  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
13 fneq2 5476 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
f  Fn  w  <->  f  Fn  A ) )
14 raleq 2848 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  <->  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
1513, 14anbi12d 692 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
1615exbidv 1633 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( E. f ( f  Fn  w  /\  A. x  e.  w  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  <->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
17 eqid 2388 . . . . . 6  |-  (/)  =  (/)
18 fn0 5505 . . . . . 6  |-  ( (/)  Fn  (/) 
<->  (/)  =  (/) )
1917, 18mpbir 201 . . . . 5  |-  (/)  Fn  (/)
20 0ex 4281 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
21 fneq1 5475 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( f  Fn  (/)  <->  (/)  Fn  (/) ) )
2220, 21spcev 2987 . . . . 5  |-  ( (/)  Fn  (/)  ->  E. f  f  Fn  (/) )
2319, 22ax-mp 8 . . . 4  |-  E. f 
f  Fn  (/)
24 ral0 3676 . . . 4  |-  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
)
2523, 24pm3.2i 442 . . 3  |-  ( E. f  f  Fn  (/)  /\  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
2625exan 1892 . 2  |-  E. f
( f  Fn  (/)  /\  A. x  e.  (/)  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
27 dffn2 5533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  y  <->  f :
y --> _V )
2827biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  y  ->  f : y --> _V )
2928ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  f : y --> _V )
30 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  z  e.  _V )
32 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
33 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  w  e.  _V )
35 fsnunf 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : y --> _V 
/\  ( z  e. 
_V  /\  -.  z  e.  y )  /\  w  e.  _V )  ->  (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) : ( y  u. 
{ z } ) --> _V )
3629, 31, 32, 34, 35syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } ) : ( y  u.  { z } ) --> _V )
37 dffn2 5533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) : ( y  u.  { z } ) --> _V )
3836, 37sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  Fn  (
y  u.  { z } ) )
39 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  z  =  (/) )
40 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
41 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( z  =  (/)  /\ 
-.  z  e.  y )
42 nfra1 2700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x A. x  e.  y 
( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )
4341, 42nfan 1836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
44 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  y )
45 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  -.  z  e.  y )
4645adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  -.  z  e.  y )
4746adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  -.  z  e.  y )
4844, 47jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  y  /\  -.  z  e.  y
) )
49 nelne2 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  y  /\  -.  z  e.  y
)  ->  x  =/=  z )
5049necomd 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  y  /\  -.  z  e.  y
)  ->  z  =/=  x )
5148, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  z  =/=  x )
52 fvunsn 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =/=  x  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  =  ( f `  x ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  =  ( f `  x ) )
54 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
5554adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
56 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  x  =/=  (/) )
57 neeq1 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  x  ->  (
u  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) ) )
58 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  x  ->  (
f `  u )  =  ( f `  x ) )
5958eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  x  ->  (
( f `  u
)  e.  u  <->  ( f `  x )  e.  u
) )
60 eleq2 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  x  ->  (
( f `  x
)  e.  u  <->  ( f `  x )  e.  x
) )
6159, 60bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  x  ->  (
( f `  u
)  e.  u  <->  ( f `  x )  e.  x
) )
6257, 61imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  x  ->  (
( u  =/=  (/)  ->  (
f `  u )  e.  u )  <->  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
6362cbvralv 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. u  e.  y  (
u  =/=  (/)  ->  (
f `  u )  e.  u )  <->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
6462rspcv 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. u  e.  y 
( u  =/=  (/)  ->  (
f `  u )  e.  u )  ->  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
6563, 64syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. x  e.  y 
( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  ->  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
6644, 55, 56, 65syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
f `  x )  e.  x )
6753, 66eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x )
68 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  z  =  (/) )
6968adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  z  =  (/) )
70 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  x  e.  {
z } )
71 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  x  =/=  (/) )
72 elsni 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  { z }  ->  x  =  z )
73723ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  =  z )
74 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  z  =  (/) )
7573, 74eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  =  (/) )
76 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  =/=  (/) )
7775, 76pm2.21ddne 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =  (/)  /\  x  e.  { z }  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x )
7869, 70, 71, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x
)
79 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )
80 elun 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( x  e.  y  \/  x  e.  {
z } ) )
8179, 80sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( x  e.  y  \/  x  e.  { z } ) )
8267, 78, 81mpjaodan 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x )
8382ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  =  (/)  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  /\  x  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) )
8483ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  =  (/)  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  (
x  e.  ( y  u.  { z } )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) ) )
8543, 84ralrimi 2731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  =  (/)  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) )
8639, 32, 40, 85syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) )
8738, 86jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x
) ) )
8887ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  ->  ( ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  -> 
( ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) ) ) )
8988eximdv 1629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  ->  ( E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  E. f
( ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) ) ) )
90 vex 2903 . . . . . . . . . . . 12  |-  f  e. 
_V
91 snex 4347 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. z ,  w >. }  e.  _V
9290, 91unex 4648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  e. 
_V
93 fneq1 5475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  (
g  Fn  ( y  u.  { z } )  <->  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  Fn  (
y  u.  { z } ) ) )
94 fveq1 5668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  (
g `  x )  =  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x ) )
9594eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  (
( g `  x
)  e.  x  <->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) )
9695imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  <->  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) ) )
9796ralbidv 2670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  ( A. x  e.  (
y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
)  <->  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  e.  x ) ) )
9893, 97anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } )  ->  (
( g  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) )  <->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) ) ) )
9992, 98spcev 2987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
10099eximi 1582 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x
) )  ->  E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
10189, 100syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  ->  ( E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) ) )
102 ax17e 1625 . . . . . . . 8  |-  ( E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
103101, 102syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  ->  ( E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  E. g
( g  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) ) )
104103imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  z  =  (/) )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
105104an32s 780 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  z  =  (/) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
106 fneq1 5475 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (
f  Fn  ( y  u.  { z } )  <->  g  Fn  (
y  u.  { z } ) ) )
107 fveq1 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  x )  =  ( g `  x ) )
108107eleq1d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  x
)  e.  x  <->  ( g `  x )  e.  x
) )
109108imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x )  <->  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
110109ralbidv 2670 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( A. x  e.  (
y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
)  <->  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
111106, 110anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )  <->  ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) ) )
112111cbvexv 2038 . . . . 5  |-  ( E. f ( f  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  <->  E. g
( g  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
113105, 112sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  z  =  (/) )  ->  E. f ( f  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
114 simpllr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  -.  z  e.  y
)
115 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  -.  z  =  (/) )
116 neq0 3582 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  =  (/)  <->  E. w  w  e.  z )
117115, 116sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  E. w  w  e.  z )
118 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
119117, 118jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  -> 
( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
120114, 119jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  -> 
( -.  z  e.  y  /\  ( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) ) )
121 eeanv 1926 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. f ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  <-> 
( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )
122 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  f  Fn  y )
123122, 27sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  f :
y --> _V )
12430a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  z  e.  _V )
125 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
12633a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  w  e.  _V )
127123, 124, 125, 126, 35syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) : ( y  u.  { z } ) --> _V )
128127, 37sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  ( f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  (
y  u.  { z } ) )
129 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  -.  z  e.  y
130 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  w  e.  z
131 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  f  Fn  y
132131, 42nfan 1836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
133130, 132nfan 1836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
134129, 133nfan 1836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
135 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  y )
136 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  -.  z  e.  y )
137135, 136jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  y  /\  -.  z  e.  y ) )
13850, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  y  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } ) `
 x )  =  ( f `  x
) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  ( ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
140 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )
141140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
142141adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  y 
( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
143142adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) )
144 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  x  =/=  (/) )
145135, 143, 144, 65syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  ( f `  x
)  e.  x )
146139, 145eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  ( ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } ) `  x
)  e.  x )
147 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  w  e.  z )
148147adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  w  e.  z )
149148adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  w  e.  z )
150 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  x  e.  { z } )
151150, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  x  =  z )
152 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  =  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  z ) )
153151, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  =  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  z ) )
15430a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  z  e.  _V )
15533a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  w  e.  _V )
156 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  -.  z  e.  y )
157122adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  f  Fn  y
)
158157adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  -> 
f  Fn  y )
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  f  Fn  y )
160 fndm 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  Fn  y  ->  dom  f  =  y )
161159, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  dom  f  =  y )
162156, 161neleqtrrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  -.  z  e.  dom  f )
163 fsnunfv 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  _V  /\  w  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  f )  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  z )  =  w )
164154, 155, 162, 163syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  z )  =  w )
165153, 164eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  =  w )
166149, 165, 1513eltr4d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  /\  x  e.  { z } )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x )
167 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( y  u.  { z } ) )
168167, 80sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( x  e.  y  \/  x  e.  {
z } ) )
169146, 166, 168mpjaodan 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( -.  z  e.  y  /\  (
w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( ( f  u. 
{ <. z ,  w >. } ) `  x
)  e.  x )
170169ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  (
f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  /\  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x
) )
171170ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( y  u.  {
z } )  -> 
( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) ) )
172134, 171ralrimi 2731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) )
173128, 172jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  w >. } )  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
( f  u.  { <. z ,  w >. } ) `  x )  e.  x ) ) )
174173, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )  ->  E. g
( g  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
175174ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) ) )
1761752eximdv 1631 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( E. w E. f ( w  e.  z  /\  ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  (
x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  E. w E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) ) )
177121, 176syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  ->  E. w E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) ) )
178177imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )  ->  E. w E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
179102exlimiv 1641 . . . . . . 7  |-  ( E. w E. f E. g ( g  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  E. g
( g  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
180178, 179syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )  ->  E. g ( g  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
181180, 112sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( E. w  w  e.  z  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) ) )  ->  E. f ( f  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
182120, 181syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  E. f ( f  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) ) )
183113, 182pm2.61dan 767 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  E. f
( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )  ->  E. f ( f  Fn  ( y  u. 
{ z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
184183ex 424 . 2  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( E. f ( f  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( x  =/=  (/)  ->  ( f `  x )  e.  x
) )  ->  E. f
( f  Fn  (
y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) ) )
1854, 8, 12, 16, 26, 184findcard2s 7286 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  (
f `  x )  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   _Vcvv 2900    u. cun 3262   (/)c0 3572   {csn 3758   <.cop 3761   dom cdm 4819    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395   Fincfn 7046
This theorem is referenced by:  stoweidlem31  27449  stoweidlem35  27453  stoweidlem59  27477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-1o 6661  df-er 6842  df-en 7047  df-fin 7050
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