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Theorem fnckle 26045
Description: The functions of  Prop. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fnckle  |-  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )
Distinct variable group:    f, n

Proof of Theorem fnckle
StepHypRef Expression
1 elun 3316 . . 3  |-  ( f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  <->  ( f  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  f  e.  { imp c ,  bi c } ) )
2 vex 2791 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
32eltp 3678 . . . . 5  |-  ( f  e.  { not c ,  and c ,  or s }  <->  ( f  =  not c  \/  f  =  and c  \/  f  =  or s ) )
4 1nn 9757 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
5 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 } )  |->  (  -. c  conc  (
x `  1 )
) )  =  ( x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 } )  |->  (  -. c  conc  (
x `  1 )
) )
6 df-nots 26012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -. c  =  { <. 1 ,  1
>. }
7 1iskle 25989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  NN  ->  { <. 1 ,  1 >. }  e.  ( Kleene `  NN ) )
84, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. 1 ,  1 >. }  e.  ( Kleene `  NN )
96, 8eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  -. c  e.  ( Kleene `  NN )
10 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 } )  ->  x : { 1 } --> ( Kleene `  NN )
)
11 snidg 3665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  NN  ->  1  e.  { 1 } )
124, 11ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  { 1 }
13 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x : { 1 } --> ( Kleene `  NN )  /\  1  e.  {
1 } )  -> 
( x `  1
)  e.  ( Kleene `  NN ) )
1410, 12, 13sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 } )  -> 
( x `  1
)  e.  ( Kleene `  NN ) )
15 clscnc 26010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  -. c  e.  (
Kleene `  NN )  /\  ( x `  1
)  e.  ( Kleene `  NN ) )  -> 
(  -. c  conc  ( x `  1 ) )  e.  ( Kleene `  NN ) )
169, 14, 15sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 } )  -> 
(  -. c  conc  ( x `  1 ) )  e.  ( Kleene `  NN ) )
175, 16fmpti 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 } )  |->  (  -. c  conc  (
x `  1 )
) ) : ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 } ) --> ( Kleene `  NN )
18 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Kleene `  NN )  e.  _V
19 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 } )  e. 
_V
2018, 19elmap 6796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 } )  |->  (  -. c  conc  (
x `  1 )
) )  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 } ) )  <->  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 } )  |->  (  -. c  conc  ( x `  1
) ) ) : ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 } ) --> ( Kleene `  NN ) )
2117, 20mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 } )  |->  (  -. c  conc  (
x `  1 )
) )  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 } ) )
22 df-notc 26032 . . . . . . . . . 10  |-  not c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 } )  |->  (  -. c  conc  ( x `  1
) ) )
23 1z 10053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
24 fzsn 10833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
2523, 24ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... 1 )  =  { 1 }
2625oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 1
) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 } )
2726oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 1 ) ) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
( Kleene `  NN )  ^m  { 1 } ) )
2822, 27eleq12i 2348 . . . . . . . . 9  |-  ( not c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 1 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 } ) 
|->  (  -. c  conc  ( x `  1
) ) )  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 } ) ) )
2921, 28mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  not c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 1 ) ) )
30 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
3130oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n
) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 1
) ) )
3231oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 1
) ) ) )
3332eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( not c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  not c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 1 ) ) ) ) )
3433rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  not c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 1 ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  not c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) ) )
354, 29, 34mp2an 653 . . . . . . 7  |-  E. n  e.  NN  not c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) )
36 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  not c  -> 
( f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  not c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) ) )
3736rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( f  =  not c  -> 
( E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  not c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) ) )
3835, 37mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( f  =  not c  ->  E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `
 NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
39 2nn 9877 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
40 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
41 df-ands 26014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  /\ c  =  { <. 1 ,  2
>. }
42 1iskle 25989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  NN  ->  { <. 1 ,  2 >. }  e.  ( Kleene `  NN ) )
4339, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  2 >. }  e.  ( Kleene `  NN )
4441, 43eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  /\ c  e.  ( Kleene `  NN )
45 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  ->  x : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) )
46 prid1g 3732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  NN  ->  1  e.  { 1 ,  2 } )
474, 46ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  { 1 ,  2 }
48 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )  /\  1  e.  { 1 ,  2 } )  ->  (
x `  1 )  e.  ( Kleene `  NN )
)
4945, 47, 48sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  ->  ( x `  1 )  e.  ( Kleene `  NN )
)
50 clscnc 26010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  /\ c  e.  (
Kleene `  NN )  /\  ( x `  1
)  e.  ( Kleene `  NN ) )  -> 
(  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  e.  ( Kleene `  NN ) )
5144, 49, 50sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  ->  (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  e.  ( Kleene `  NN )
)
52 prid2g 3733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  NN  ->  2  e.  { 1 ,  2 } )
5339, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  { 1 ,  2 }
54 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )  /\  2  e.  { 1 ,  2 } )  ->  (
x `  2 )  e.  ( Kleene `  NN )
)
5545, 53, 54sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  ->  ( x `  2 )  e.  ( Kleene `  NN )
)
56 clscnc 26010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  e.  ( Kleene `  NN )  /\  (
x `  2 )  e.  ( Kleene `  NN )
)  ->  ( (  /\ c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) )  e.  ( Kleene `  NN )
)
5751, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  ->  ( (  /\ c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) )  e.  ( Kleene `  NN )
)
5840, 57fmpti 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) ) : ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) --> ( Kleene `  NN )
59 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  e.  _V
6018, 59elmap 6796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )  <-> 
( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  (
x `  1 )
)  conc  ( x `  2 ) ) ) : ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) --> ( Kleene `  NN ) )
6158, 60mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )
62 df-andc 26034 . . . . . . . . . 10  |-  and c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
63 intset 26044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... 2 )  =  { 1 ,  2 }
6463oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )
6564oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )
6662, 65eleq12i 2348 . . . . . . . . 9  |-  ( and c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  (
x `  1 )
)  conc  ( x `  2 ) ) )  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) ) )
6761, 66mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  and c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) ) )
68 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  2  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 2
) )
6968oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  2  ->  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n
) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) ) )
7069oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  2  ->  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) ) ) )
7170eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  ( and c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  and c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) ) ) )
7271rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  and c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  and c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) ) )
7339, 67, 72mp2an 653 . . . . . . 7  |-  E. n  e.  NN  and c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) )
74 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  and c  -> 
( f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  and c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) ) )
7574rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( f  =  and c  -> 
( E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  and c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) ) )
7673, 75mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( f  =  and c  ->  E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `
 NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
77 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  \/ c  conc  ( x `  1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) )  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  \/ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
78 df-ors 26016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  \/ c  =  { <. 1 ,  3
>. }
79 3nn 9878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  NN
80 1iskle 25989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  NN  ->  { <. 1 ,  3 >. }  e.  ( Kleene `  NN ) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  3 >. }  e.  ( Kleene `  NN )
8278, 81eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  \/ c  e.  ( Kleene `  NN )
83 clscnc 26010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  \/ c  e.  (
Kleene `  NN )  /\  ( x `  1
)  e.  ( Kleene `  NN ) )  -> 
(  \/ c  conc  ( x `  1 ) )  e.  ( Kleene `  NN ) )
8482, 49, 83sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  ->  (  \/ c  conc  ( x ` 
1 ) )  e.  ( Kleene `  NN )
)
85 clscnc 26010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  \/ c  conc  ( x `  1 ) )  e.  ( Kleene `  NN )  /\  (
x `  2 )  e.  ( Kleene `  NN )
)  ->  ( (  \/ c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) )  e.  ( Kleene `  NN )
)
8684, 55, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  ->  ( (  \/ c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) )  e.  ( Kleene `  NN )
)
8777, 86fmpti 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  \/ c  conc  ( x `  1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) ) : ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } ) --> ( Kleene `  NN )
8818, 59elmap 6796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  \/ c  conc  ( x `  1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) )  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )  <->  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  \/ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) ) : ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) --> ( Kleene `  NN ) )
8987, 88mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  \/ c  conc  ( x `  1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) )  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )
90 df-orc 26036 . . . . . . . . . 10  |-  or s  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  \/ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
9190, 65eleq12i 2348 . . . . . . . . 9  |-  ( or s  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  \/ c  conc  (
x `  1 )
)  conc  ( x `  2 ) ) )  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) ) )
9289, 91mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  or s  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) ) )
9370eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  ( or s  e.  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  or s  e.  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) ) ) )
9493rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  or s  e.  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  or s  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) ) )
9539, 92, 94mp2an 653 . . . . . . 7  |-  E. n  e.  NN  or s  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) )
96 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  or s  -> 
( f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  or s  e.  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) ) )
9796rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( f  =  or s  -> 
( E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  or s  e.  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) ) )
9895, 97mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( f  =  or s  ->  E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `
 NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
9938, 76, 983jaoi 1245 . . . . 5  |-  ( ( f  =  not c  \/  f  =  and c  \/  f  =  or s )  ->  E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
1003, 99sylbi 187 . . . 4  |-  ( f  e.  { not c ,  and c ,  or s }  ->  E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
1012elpr 3658 . . . . 5  |-  ( f  e.  { imp c ,  bi c }  <->  ( f  =  imp c  \/  f  =  bi c ) )
102 df-impc 26038 . . . . . . . . . . 11  |-  imp c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  => c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
103 mpteq1 4100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  (
x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) )  |->  ( (  => c  conc  (
x `  1 )
)  conc  ( x `  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  => c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) ) )
104103eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  ( imp c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) ) 
|->  ( (  => c  conc  ( x `  1
) )  conc  (
x `  2 )
) )  <->  imp c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  => c  conc  (
x `  1 )
)  conc  ( x `  2 ) ) ) ) )
10564, 104ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( imp c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) ) 
|->  ( (  => c  conc  ( x `  1
) )  conc  (
x `  2 )
) )  <->  imp c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  => c  conc  (
x `  1 )
)  conc  ( x `  2 ) ) ) )
106102, 105mpbir 200 . . . . . . . . . 10  |-  imp c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) )  |->  ( (  => c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
107 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... 2 )  e. 
_V
10818, 107elmap 6796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) )  <-> 
x : ( 1 ... 2 ) --> (
Kleene `  NN ) )
109 df-imps 26018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  => c  =  { <. 1 ,  4
>. }
110 4nn 9879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  e.  NN
111 1iskle 25989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  e.  NN  ->  { <. 1 ,  4 >. }  e.  ( Kleene `  NN ) )
112110, 111ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  4 >. }  e.  ( Kleene `  NN )
113109, 112eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  => c  e.  ( Kleene `  NN )
114 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ZZ
11523, 114, 233pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
116 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
117116leidi 9307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <_  1
118 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
119 1lt2 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
120116, 118, 119ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <_  2
121117, 120pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  <_  1  /\  1  <_  2 )
122 elfz4 10791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  1  /\  1  <_  2 ) )  ->  1  e.  ( 1 ... 2
) )
123115, 121, 122mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ( 1 ... 2
)
124 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x : ( 1 ... 2 ) --> (
Kleene `  NN )  /\  1  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( x ` 
1 )  e.  (
Kleene `  NN ) )
125123, 124mpan2 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x : ( 1 ... 2 ) --> ( Kleene `  NN )  ->  (
x `  1 )  e.  ( Kleene `  NN )
)
126 clscnc 26010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  => c  e.  (
Kleene `  NN )  /\  ( x `  1
)  e.  ( Kleene `  NN ) )  -> 
(  => c  conc  (
x `  1 )
)  e.  ( Kleene `  NN ) )
127113, 125, 126sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x : ( 1 ... 2 ) --> ( Kleene `  NN )  ->  (  => c  conc  ( x `  1 ) )  e.  ( Kleene `  NN ) )
128108, 127sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) )  ->  (  => c  conc  ( x `  1
) )  e.  (
Kleene `  NN ) )
12923, 114, 1143pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
130118leidi 9307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <_  2
131120, 130pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  <_  2  /\  2  <_  2 )
132 elfz4 10791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  2  /\  2  <_  2 ) )  ->  2  e.  ( 1 ... 2
) )
133129, 131, 132mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ( 1 ... 2
)
134 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x : ( 1 ... 2 ) --> (
Kleene `  NN )  /\  2  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( x ` 
2 )  e.  (
Kleene `  NN ) )
135133, 134mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x : ( 1 ... 2 ) --> ( Kleene `  NN )  ->  (
x `  2 )  e.  ( Kleene `  NN )
)
136108, 135sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) )  ->  ( x ` 
2 )  e.  (
Kleene `  NN ) )
137 clscnc 26010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  => c  conc  ( x `  1 ) )  e.  ( Kleene `  NN )  /\  (
x `  2 )  e.  ( Kleene `  NN )
)  ->  ( (  => c  conc  ( x `  1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) )  e.  ( Kleene `  NN )
)
138128, 136, 137syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) )  ->  ( (  => c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) )  e.  ( Kleene `  NN ) )
139106, 138fmpti 5683 . . . . . . . . 9  |-  imp c : ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) ) --> ( Kleene `  NN )
140 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) )  e.  _V
14118, 140elmap 6796 . . . . . . . . 9  |-  ( imp c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) )  <->  imp c : ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) ) --> ( Kleene `  NN ) )
142139, 141mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  imp c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) ) )
14370eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  ( imp c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  imp c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) ) ) )
144143rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  imp c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  imp c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) ) )
14539, 142, 144mp2an 653 . . . . . . 7  |-  E. n  e.  NN  imp c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) )
146 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  imp c  /\  n  e.  NN )  ->  f  =  imp c )
147146eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  imp c  /\  n  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) )  <->  imp c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) ) )
148147rexbidva 2560 . . . . . . 7  |-  ( f  =  imp c  -> 
( E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  imp c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) ) )
149145, 148mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( f  =  imp c  ->  E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `
 NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
150 df-bic 26040 . . . . . . . . . . 11  |-  bi c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  <=> c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) )
151 mpteq1 4100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  (
x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) )  |->  ( (  <=>
c  conc  ( x `  1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) )  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  <=> c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) ) )
152151eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  ( bi c  =  (
x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) )  |->  ( (  <=>
c  conc  ( x `  1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) )  <-> 
bi c  =  ( x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  <=> c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) ) ) )
15364, 152ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( bi c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) ) 
|->  ( (  <=> c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) )  <-> 
bi c  =  ( x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  <=> c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) ) )
154150, 153mpbir 200 . . . . . . . . . 10  |-  bi c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) )  |->  ( (  <=> c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) ) )
155 df-bis 26020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <=> c  =  { <. 1 ,  5 >. }
156 5nn 9880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  NN
157 1iskle 25989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  e.  NN  ->  { <. 1 ,  5 >. }  e.  ( Kleene `  NN ) )
158156, 157ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. 1 ,  5 >. }  e.  ( Kleene `  NN )
159155, 158eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  <=> c  e.  ( Kleene `
 NN )
160 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) )  ->  x : ( 1 ... 2 ) --> ( Kleene `  NN )
)
161160, 123, 124sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) )  ->  ( x ` 
1 )  e.  (
Kleene `  NN ) )
162 clscnc 26010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <=>
c  e.  ( Kleene `  NN )  /\  (
x `  1 )  e.  ( Kleene `  NN )
)  ->  (  <=> c  conc  ( x `
 1 ) )  e.  ( Kleene `  NN ) )
163159, 161, 162sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) )  ->  (  <=> c  conc  ( x `
 1 ) )  e.  ( Kleene `  NN ) )
164 clscnc 26010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  <=> c  conc  ( x `
 1 ) )  e.  ( Kleene `  NN )  /\  ( x ` 
2 )  e.  (
Kleene `  NN ) )  ->  ( (  <=> c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) )  e.  ( Kleene `  NN )
)
165163, 136, 164syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) )  ->  ( (  <=> c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) )  e.  ( Kleene `  NN )
)
166154, 165fmpti 5683 . . . . . . . . 9  |-  bi c : ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) ) --> ( Kleene `  NN )
16718, 140elmap 6796 . . . . . . . . 9  |-  ( bi c  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) )  <-> 
bi c : ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2
) ) --> ( Kleene `  NN ) )
168166, 167mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  bi c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... 2 ) ) )
16970eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  ( bi c  e.  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <-> 
bi c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) ) ) )
170169rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  bi c  e.  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... 2 ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  bi c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) ) )
17139, 168, 170mp2an 653 . . . . . . 7  |-  E. n  e.  NN  bi c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) )
172 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  bi c  /\  n  e.  NN )  ->  f  =  bi c )
173172eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  bi c  /\  n  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) )  <->  bi c  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) ) )
174173rexbidva 2560 . . . . . . 7  |-  ( f  =  bi c  -> 
( E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  bi c  e.  (
( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) ) )
175171, 174mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( f  =  bi c  ->  E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `
 NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
176149, 175jaoi 368 . . . . 5  |-  ( ( f  =  imp c  \/  f  =  bi c )  ->  E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
177101, 176sylbi 187 . . . 4  |-  ( f  e.  { imp c ,  bi c }  ->  E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  (
1 ... n ) ) ) )
178100, 177jaoi 368 . . 3  |-  ( ( f  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  f  e.  { imp c ,  bi c } )  ->  E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `
 NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
1791, 178sylbi 187 . 2  |-  ( f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  ->  E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )
180179rgen 2608 1  |-  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    u. cun 3150   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   <.cop 3643   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   1c1 8738    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   ZZcz 10024   ...cfz 10782   Kleeneckln 25980    conc cconc 26004    -. ccnots 26011    /\ ccands 26013    \/ cclors 26015    => ccimps 26017    <=> ccbis 26019   not ccnotc 26031   and ccandc 26033   or scors 26035   imp ccimpc 26037   bi ccbic 26039
This theorem is referenced by:  fnckleb  26046  pfsubkl  26047  pvp  26048  pgapspf  26052  pgapspf2  26053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338  df-kle 25987  df-conc 26005  df-nots 26012  df-ands 26014  df-ors 26016  df-imps 26018  df-bis 26020  df-notc 26032  df-andc 26034  df-orc 26036  df-impc 26038  df-bic 26040
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