MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fncpn Unicode version

Theorem fncpn 19776
Description: The  C ^n object is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fncpn  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( C ^n `  S )  Fn  NN0 )

Proof of Theorem fncpn
Dummy variables  f  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6069 . . . 4  |-  ( CC 
^pm  S )  e. 
_V
21rabex 4318 . . 3  |-  { f  e.  ( CC  ^pm  S )  |  ( ( S  D n f ) `  n )  e.  ( dom  f -cn->
CC ) }  e.  _V
3 eqid 2408 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  |->  { f  e.  ( CC  ^pm  S )  |  ( ( S  D n f ) `  n )  e.  ( dom  f -cn->
CC ) } )  =  ( n  e. 
NN0  |->  { f  e.  ( CC  ^pm  S
)  |  ( ( S  D n f ) `  n )  e.  ( dom  f -cn->
CC ) } )
42, 3fnmpti 5536 . 2  |-  ( n  e.  NN0  |->  { f  e.  ( CC  ^pm  S )  |  ( ( S  D n f ) `  n )  e.  ( dom  f -cn->
CC ) } )  Fn  NN0
5 cpnfval 19775 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( C ^n `  S )  =  ( n  e. 
NN0  |->  { f  e.  ( CC  ^pm  S
)  |  ( ( S  D n f ) `  n )  e.  ( dom  f -cn->
CC ) } ) )
65fneq1d 5499 . 2  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( C ^n `  S
)  Fn  NN0  <->  ( n  e.  NN0  |->  { f  e.  ( CC  ^pm  S
)  |  ( ( S  D n f ) `  n )  e.  ( dom  f -cn->
CC ) } )  Fn  NN0 ) )
74, 6mpbiri 225 1  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( C ^n `  S )  Fn  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   {crab 2674    C_ wss 3284    e. cmpt 4230   dom cdm 4841    Fn wfn 5412   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    ^pm cpm 6982   CCcc 8948   NN0cn0 10181   -cn->ccncf 18863    D ncdvn 19708   C ^nccpn 19709
This theorem is referenced by:  cpncn  19779  cpnres  19780  plycpn  20163  aalioulem3  20208
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-nn 9961  df-n0 10182  df-cpn 19713
  Copyright terms: Public domain W3C validator