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Theorem fnejoin1 26317
Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part one. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnejoin1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, S    y, X
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem fnejoin1
StepHypRef Expression
1 elssuni 3855 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  C_ 
U. S )
213ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A  C_ 
U. S )
3 uniss 3848 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. S  ->  U. A  C_ 
U. U. S )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  C_ 
U. U. S )
5 eqimss2 3231 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  U. y  ->  U. y  C_  X )
6 sspwuni 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ~P X  <->  U. y  C_  X )
75, 6sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. y  -> 
y  C_  ~P X
)
87ralimi 2618 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  X  =  U. y  ->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
983ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
10 unissb 3857 . . . . . . 7  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
119, 10sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  C_ 
~P X )
12 sspwuni 3987 . . . . . 6  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  U. U. S  C_  X )
1311, 12sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. U. S  C_  X )
14 unieq 3836 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
1514eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. A ) )
1615rspccva 2883 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  ->  X  =  U. A )
17163adant1 973 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  X  =  U. A )
1813, 17sseqtrd 3214 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. U. S  C_  U. A )
194, 18eqssd 3196 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  =  U. U. S )
20 pwexg 4194 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
21203ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ~P X  e.  _V )
22 ssexg 4160 . . . . . 6  |-  ( ( U. S  C_  ~P X  /\  ~P X  e. 
_V )  ->  U. S  e.  _V )
2311, 21, 22syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  e.  _V )
24 bastg 16704 . . . . 5  |-  ( U. S  e.  _V  ->  U. S  C_  ( topGen ` 
U. S ) )
2523, 24syl 15 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  C_  ( topGen `  U. S ) )
262, 25sstrd 3189 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A  C_  ( topGen `  U. S ) )
27 eqid 2283 . . . 4  |-  U. A  =  U. A
28 eqid 2283 . . . 4  |-  U. U. S  =  U. U. S
2927, 28isfne4 26269 . . 3  |-  ( A Fne U. S  <->  ( U. A  =  U. U. S  /\  A  C_  ( topGen ` 
U. S ) ) )
3019, 26, 29sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne U. S )
31 ne0i 3461 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
32313ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  S  =/=  (/) )
33 ifnefalse 3573 . . 3  |-  ( S  =/=  (/)  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. S
)
3432, 33syl 15 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. S
)
3530, 34breqtrrd 4049 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   topGenctg 13342   Fnecfne 26259
This theorem is referenced by:  fnejoin2  26318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-fne 26263
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