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Theorem fnejoin1 26420
Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part one. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnejoin1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, S    y, X
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem fnejoin1
StepHypRef Expression
1 elssuni 3871 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  C_ 
U. S )
213ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A  C_ 
U. S )
3 uniss 3864 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. S  ->  U. A  C_ 
U. U. S )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  C_ 
U. U. S )
5 eqimss2 3244 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  U. y  ->  U. y  C_  X )
6 sspwuni 4003 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ~P X  <->  U. y  C_  X )
75, 6sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. y  -> 
y  C_  ~P X
)
87ralimi 2631 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  X  =  U. y  ->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
983ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
10 unissb 3873 . . . . . . 7  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
119, 10sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  C_ 
~P X )
12 sspwuni 4003 . . . . . 6  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  U. U. S  C_  X )
1311, 12sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. U. S  C_  X )
14 unieq 3852 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
1514eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. A ) )
1615rspccva 2896 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  ->  X  =  U. A )
17163adant1 973 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  X  =  U. A )
1813, 17sseqtrd 3227 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. U. S  C_  U. A )
194, 18eqssd 3209 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  =  U. U. S )
20 pwexg 4210 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
21203ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ~P X  e.  _V )
22 ssexg 4176 . . . . . 6  |-  ( ( U. S  C_  ~P X  /\  ~P X  e. 
_V )  ->  U. S  e.  _V )
2311, 21, 22syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  e.  _V )
24 bastg 16720 . . . . 5  |-  ( U. S  e.  _V  ->  U. S  C_  ( topGen ` 
U. S ) )
2523, 24syl 15 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  C_  ( topGen `  U. S ) )
262, 25sstrd 3202 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A  C_  ( topGen `  U. S ) )
27 eqid 2296 . . . 4  |-  U. A  =  U. A
28 eqid 2296 . . . 4  |-  U. U. S  =  U. U. S
2927, 28isfne4 26372 . . 3  |-  ( A Fne U. S  <->  ( U. A  =  U. U. S  /\  A  C_  ( topGen ` 
U. S ) ) )
3019, 26, 29sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne U. S )
31 ne0i 3474 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
32313ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  S  =/=  (/) )
33 ifnefalse 3586 . . 3  |-  ( S  =/=  (/)  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. S
)
3432, 33syl 15 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. S
)
3530, 34breqtrrd 4065 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   topGenctg 13358   Fnecfne 26362
This theorem is referenced by:  fnejoin2  26421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-fne 26366
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