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Theorem fnejoin2 25642
Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnejoin2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, V    x, X, y    x, T
Allowed substitution hints:    T( y)    V( y)

Proof of Theorem fnejoin2
StepHypRef Expression
1 unisng 3923 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  U. { X }  =  X
)
21eqcomd 2363 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  X  =  U. { X }
)
32adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  ->  X  =  U. { X } )
4 iftrue 3647 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  (/)  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  { X } )
54unieqd 3917 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  (/)  ->  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. { X } )
65eqeq2d 2369 . . . . . . 7  |-  ( S  =  (/)  ->  ( X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  <->  X  =  U. { X } ) )
73, 6syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =  (/)  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) ) )
8 n0 3540 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
9 unieq 3915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  U. y  =  U. x )
109eqeq2d 2369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. x ) )
1110rspccva 2959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S
)  ->  X  =  U. x )
12113adant1 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. x )
13 fnejoin1 25641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  x Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
14 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. x  =  U. x
15 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)
1614, 15fnebas 25597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  ->  U. x  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
1713, 16syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  U. x  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
1812, 17eqtrd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
19183expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( x  e.  S  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) ) )
2019exlimdv 1636 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) ) )
218, 20syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =/=  (/)  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) ) )
227, 21pm2.61dne 2598 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) )
23 eqid 2358 . . . . . 6  |-  U. T  =  U. T
2415, 23fnebas 25597 . . . . 5  |-  ( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  =  U. T )
2522, 24sylan9eq 2410 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) Fne T )  ->  X  =  U. T )
2625ex 423 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  X  =  U. T ) )
27 fnetr 25610 . . . . . . 7  |-  ( ( x Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  /\  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) Fne T )  ->  x Fne T
)
2827ex 423 . . . . . 6  |-  ( x Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  ->  ( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) Fne T  ->  x Fne T ) )
2913, 28syl 15 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  x Fne T ) )
30293expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  x  e.  S )  ->  ( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  x Fne T ) )
3130ralrimdva 2709 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  A. x  e.  S  x Fne T ) )
3226, 31jcad 519 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) ) )
3322adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) )
34 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  X  =  U. T )
3533, 34eqtr3d 2392 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  = 
U. T )
36 sseq1 3275 . . . . 5  |-  ( { X }  =  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  ->  ( { X }  C_  ( topGen `
 T )  <->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  C_  ( topGen `  T ) ) )
37 sseq1 3275 . . . . 5  |-  ( U. S  =  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  ->  ( U. S  C_  ( topGen `  T
)  <->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  C_  ( topGen `  T )
) )
38 elex 2872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
3938ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  X  e.  _V )
4034, 39eqeltrrd 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  U. T  e.  _V )
41 uniexb 4642 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  _V  <->  U. T  e. 
_V )
4240, 41sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  T  e.  _V )
43 ssid 3273 . . . . . . . . 9  |-  T  C_  T
44 eltg3i 16799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  _V  /\  T  C_  T )  ->  U. T  e.  ( topGen `
 T ) )
4542, 43, 44sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  U. T  e.  ( topGen `
 T ) )
4634, 45eqeltrd 2432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  X  e.  ( topGen `  T ) )
4746snssd 3839 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  { X }  C_  ( topGen `
 T ) )
4847adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  /\  S  =  (/) )  ->  { X }  C_  ( topGen `  T )
)
49 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  /\  -.  S  =  (/) )  ->  A. x  e.  S  x Fne T )
50 fnetg 25598 . . . . . . . 8  |-  ( x Fne T  ->  x  C_  ( topGen `  T )
)
5150ralimi 2694 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  x Fne T  ->  A. x  e.  S  x  C_  ( topGen `
 T ) )
5249, 51syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  /\  -.  S  =  (/) )  ->  A. x  e.  S  x  C_  ( topGen `
 T ) )
53 unissb 3936 . . . . . 6  |-  ( U. S  C_  ( topGen `  T
)  <->  A. x  e.  S  x  C_  ( topGen `  T
) )
5452, 53sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  /\  -.  S  =  (/) )  ->  U. S  C_  ( topGen `  T )
)
5536, 37, 48, 54ifbothda 3671 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  C_  ( topGen `
 T ) )
5615, 23isfne4 25593 . . . 4  |-  ( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  <->  ( U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  =  U. T  /\  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  C_  ( topGen `
 T ) ) )
5735, 55, 56sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T
)
5857ex 423 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( ( X  = 
U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T )  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) Fne T ) )
5932, 58impbid 183 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ifcif 3641   {csn 3716   U.cuni 3906   class class class wbr 4102   ` cfv 5334   topGenctg 13435   Fnecfne 25583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fv 5342  df-topgen 13437  df-fne 25587
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