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Theorem fnemeet1 26418
Description: The meet of a collection of equivalence classes of covers with respect to fineness. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) Fne A )
Distinct variable groups:    y, t, A    t, S, y    t, V    t, X, y
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem fnemeet1
StepHypRef Expression
1 unitg 16721 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  S  ->  U. ( topGen `
 t )  = 
U. t )
21adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 t )  = 
U. t )
3 unieq 3852 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  t  ->  U. y  =  U. t )
43eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  t  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. t ) )
54rspccva 2896 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  t  e.  S
)  ->  X  =  U. t )
653ad2antl2 1118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  X  =  U. t )
72, 6eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 t )  =  X )
8 eqimss 3243 . . . . . 6  |-  ( U. ( topGen `  t )  =  X  ->  U. ( topGen `
 t )  C_  X )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 t )  C_  X )
10 sspwuni 4003 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  t )  C_  ~P X  <->  U. ( topGen `  t
)  C_  X )
119, 10sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  ( topGen `
 t )  C_  ~P X )
1211ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ~P X )
13 ne0i 3474 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
14133ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  S  =/=  (/) )
15 riinn0 3992 . . 3  |-  ( ( A. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_ 
~P X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
1612, 14, 15syl2anc 642 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
17 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A  e.  S )
18 ssid 3210 . . . . . . . 8  |-  ( topGen `  A )  C_  ( topGen `
 A )
19 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  A  ->  ( topGen `
 t )  =  ( topGen `  A )
)
2019sseq1d 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  A  ->  (
( topGen `  t )  C_  ( topGen `  A )  <->  (
topGen `  A )  C_  ( topGen `  A )
) )
2120rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  ( topGen `  A )  C_  ( topGen `  A )
)  ->  E. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `
 A ) )
2217, 18, 21sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  E. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `
 A ) )
23 iinss 3969 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  S  (
topGen `  t )  C_  ( topGen `  A )  -> 
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `  A )
)
2422, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `
 A ) )
25 uniss 3864 . . . . . 6  |-  ( |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  C_  ( topGen `  A )  ->  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  C_ 
U. ( topGen `  A
) )
2624, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  C_  U. ( topGen `  A )
)
27 unitg 16721 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  U. ( topGen `
 A )  = 
U. A )
28273ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 A )  = 
U. A )
2926, 28sseqtrd 3227 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  C_  U. A )
30 unieq 3852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
3130eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. A ) )
3231rspccva 2896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  ->  X  =  U. A )
33323adant1 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  X  =  U. A )
3433adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  X  =  U. A )
3534, 6eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. A  =  U. t )
36 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  t  e.  S )
37 ssid 3210 . . . . . . . . 9  |-  t  C_  t
38 eltg3i 16715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  S  /\  t  C_  t )  ->  U. t  e.  ( topGen `
 t ) )
3936, 37, 38sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. t  e.  ( topGen `  t )
)
4035, 39eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. A  e.  ( topGen `  t )
)
4140ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A. t  e.  S  U. A  e.  ( topGen `  t )
)
42 uniexg 4533 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  S  ->  U. A  e.  _V )
43423ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  e.  _V )
44 eliin 3926 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  <->  A. t  e.  S  U. A  e.  ( topGen `  t )
) )
4543, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  <->  A. t  e.  S  U. A  e.  ( topGen `  t )
) )
4641, 45mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
47 elssuni 3871 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t
)  ->  U. A  C_  U.
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
4846, 47syl 15 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  C_ 
U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
4929, 48eqssd 3209 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  = 
U. A )
50 eqid 2296 . . . 4  |-  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  = 
U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
51 eqid 2296 . . . 4  |-  U. A  =  U. A
5250, 51isfne4 26372 . . 3  |-  ( |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) Fne A  <->  ( U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  = 
U. A  /\  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  C_  ( topGen `  A )
) )
5349, 24, 52sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) Fne A
)
5416, 53eqbrtrd 4059 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) Fne A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|_ciin 3922   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   topGenctg 13358   Fnecfne 26362
This theorem is referenced by:  fnemeet2  26419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-fne 26366
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