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Theorem fnemeet2 26419
Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) ) )
Distinct variable groups:    y, t, x, S    t, V, x   
t, X, x, y   
t, T, x
Allowed substitution hints:    T( y)    V( y)

Proof of Theorem fnemeet2
StepHypRef Expression
1 riin0 3991 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  (/)  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  =  ~P X )
21unieqd 3854 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  (/)  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. ~P X )
3 unipw 4240 . . . . . . . . 9  |-  U. ~P X  =  X
42, 3syl6req 2345 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  (/)  ->  X  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
54a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =  (/)  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
6 n0 3477 . . . . . . . 8  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
7 unieq 3852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  U. y  =  U. x )
87eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. x ) )
98rspccva 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S
)  ->  X  =  U. x )
1093adant1 973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. x )
11 fnemeet1 26418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) Fne x )
12 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
13 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. x  =  U. x
1412, 13fnebas 26376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. x )
1511, 14syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. x )
1610, 15eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
17163expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( x  e.  S  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
1817exlimdv 1626 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
196, 18syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =/=  (/)  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
205, 19pm2.61dne 2536 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) )
2120adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) )
22 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  U. T  =  U. T
2322, 12fnebas 26376 . . . . . 6  |-  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  U. T  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
2423adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  U. T  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
2521, 24eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  X  =  U. T )
2625ex 423 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  ->  X  =  U. T ) )
27 fnetr 26389 . . . . . . 7  |-  ( ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  /\  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x )  ->  T Fne x )
2827expcom 424 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
2911, 28syl 15 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
30293expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  x  e.  S )  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
3130ralrimdva 2646 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  ->  A. x  e.  S  T Fne x ) )
3226, 31jcad 519 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  -> 
( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x
) ) )
33 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  X  =  U. T )
3420adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) )
3533, 34eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  U. T  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )
36 eqimss2 3244 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. T  ->  U. T  C_  X )
3736ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  U. T  C_  X )
38 sspwuni 4003 . . . . . . 7  |-  ( T 
C_  ~P X  <->  U. T  C_  X )
3937, 38sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ~P X )
40 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  ( T Fne x  <->  T Fne t ) )
4140cbvralv 2777 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  S  T Fne x  <->  A. t  e.  S  T Fne t )
42 fnetg 26377 . . . . . . . . . 10  |-  ( T Fne t  ->  T  C_  ( topGen `  t )
)
4342ralimi 2631 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  S  T Fne t  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `
 t ) )
4441, 43sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  T Fne x  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `
 t ) )
4544ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `  t
) )
46 ssiin 3968 . . . . . . 7  |-  ( T 
C_  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  <->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `  t )
)
4745, 46sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
4839, 47ssind 3406 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
49 pwexg 4210 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
50 inex1g 4173 . . . . . . . 8  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) )  e.  _V )
5149, 50syl 15 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  e. 
_V )
5251ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  -> 
( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) )  e.  _V )
53 bastg 16720 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) )  e.  _V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
5452, 53syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  -> 
( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) 
C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
5548, 54sstrd 3202 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
5622, 12isfne4 26372 . . . 4  |-  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  <->  ( U. T  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  /\  T  C_  ( topGen `
 ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) ) )
5735, 55, 56sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
5857ex 423 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( ( X  = 
U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x )  ->  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) ) )
5932, 58impbid 183 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|_ciin 3922   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   topGenctg 13358   Fnecfne 26362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-fne 26366
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