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Theorem fnemeet2 26398
Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) ) )
Distinct variable groups:    y, t, x, S    t, V, x   
t, X, x, y   
t, T, x
Allowed substitution hints:    T( y)    V( y)

Proof of Theorem fnemeet2
StepHypRef Expression
1 riin0 4166 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  (/)  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  =  ~P X )
21unieqd 4028 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  (/)  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. ~P X )
3 unipw 4416 . . . . . . . . 9  |-  U. ~P X  =  X
42, 3syl6req 2487 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  (/)  ->  X  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =  (/)  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
6 n0 3639 . . . . . . . 8  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
7 unieq 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  U. y  =  U. x )
87eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. x ) )
98rspccva 3053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S
)  ->  X  =  U. x )
1093adant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. x )
11 fnemeet1 26397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) Fne x )
12 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
13 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. x  =  U. x
1412, 13fnebas 26355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. x )
1511, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. x )
1610, 15eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
17163expia 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( x  e.  S  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
1817exlimdv 1647 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
196, 18syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =/=  (/)  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
205, 19pm2.61dne 2683 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) )
2120adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) )
22 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U. T  =  U. T
2322, 12fnebas 26355 . . . . . 6  |-  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  U. T  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
2423adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  U. T  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
2521, 24eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  X  =  U. T )
2625ex 425 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  ->  X  =  U. T ) )
27 fnetr 26368 . . . . . . 7  |-  ( ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  /\  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x )  ->  T Fne x )
2827expcom 426 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
2911, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
30293expa 1154 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  x  e.  S )  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
3130ralrimdva 2798 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  ->  A. x  e.  S  T Fne x ) )
3226, 31jcad 521 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  -> 
( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x
) ) )
33 simprl 734 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  X  =  U. T )
3420adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) )
3533, 34eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  U. T  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )
36 eqimss2 3403 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. T  ->  U. T  C_  X )
3736ad2antrl 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  U. T  C_  X )
38 sspwuni 4178 . . . . . . 7  |-  ( T 
C_  ~P X  <->  U. T  C_  X )
3937, 38sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ~P X )
40 breq2 4218 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  ( T Fne x  <->  T Fne t ) )
4140cbvralv 2934 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  S  T Fne x  <->  A. t  e.  S  T Fne t )
42 fnetg 26356 . . . . . . . . . 10  |-  ( T Fne t  ->  T  C_  ( topGen `  t )
)
4342ralimi 2783 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  S  T Fne t  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `
 t ) )
4441, 43sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  T Fne x  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `
 t ) )
4544ad2antll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `  t
) )
46 ssiin 4143 . . . . . . 7  |-  ( T 
C_  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  <->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `  t )
)
4745, 46sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
4839, 47ssind 3567 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
49 pwexg 4385 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
50 inex1g 4348 . . . . . . . 8  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) )  e.  _V )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  e. 
_V )
5251ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  -> 
( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) )  e.  _V )
53 bastg 17033 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) )  e.  _V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
5452, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  -> 
( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) 
C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
5548, 54sstrd 3360 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
5622, 12isfne4 26351 . . . 4  |-  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  <->  ( U. T  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  /\  T  C_  ( topGen `
 ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) ) )
5735, 55, 56sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
5857ex 425 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( ( X  = 
U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x )  ->  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) ) )
5932, 58impbid 185 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   |^|_ciin 4096   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   topGenctg 13667   Fnecfne 26341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-topgen 13669  df-fne 26345
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