Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnetr Unicode version

Theorem fnetr 25698
Description: Transitivity of the fineness relation. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnetr  |-  ( ( A Fne B  /\  B Fne C )  ->  A Fne C )

Proof of Theorem fnetr
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  U. A  =  U. A
2 eqid 2283 . . . 4  |-  U. B  =  U. B
31, 2fnebas 25685 . . 3  |-  ( A Fne B  ->  U. A  =  U. B )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  U. C  =  U. C
52, 4fnebas 25685 . . 3  |-  ( B Fne C  ->  U. B  =  U. C )
63, 5sylan9eq 2335 . 2  |-  ( ( A Fne B  /\  B Fne C )  ->  U. A  =  U. C )
7 fnerel 25679 . . . . 5  |-  Rel  Fne
87brrelex2i 4730 . . . 4  |-  ( A Fne B  ->  B  e.  _V )
91, 2isfne4b 25682 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A Fne B  <->  ( U. A  =  U. B  /\  ( topGen `  A )  C_  ( topGen `  B )
) ) )
109simplbda 607 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A Fne B )  -> 
( topGen `  A )  C_  ( topGen `  B )
)
118, 10mpancom 650 . . 3  |-  ( A Fne B  ->  ( topGen `
 A )  C_  ( topGen `  B )
)
127brrelex2i 4730 . . . 4  |-  ( B Fne C  ->  C  e.  _V )
132, 4isfne4b 25682 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  ( B Fne C  <->  ( U. B  =  U. C  /\  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
) ) )
1413simplbda 607 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B Fne C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
1512, 14mpancom 650 . . 3  |-  ( B Fne C  ->  ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )
)
1611, 15sylan9ss 3192 . 2  |-  ( ( A Fne B  /\  B Fne C )  -> 
( topGen `  A )  C_  ( topGen `  C )
)
1712adantl 452 . . 3  |-  ( ( A Fne B  /\  B Fne C )  ->  C  e.  _V )
181, 4isfne4b 25682 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( A Fne C  <->  ( U. A  =  U. C  /\  ( topGen `  A )  C_  ( topGen `  C )
) ) )
1917, 18syl 15 . 2  |-  ( ( A Fne B  /\  B Fne C )  -> 
( A Fne C  <->  ( U. A  =  U. C  /\  ( topGen `  A
)  C_  ( topGen `  C ) ) ) )
206, 16, 19mpbir2and 888 1  |-  ( ( A Fne B  /\  B Fne C )  ->  A Fne C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   topGenctg 13342   Fnecfne 25671
This theorem is referenced by:  fnessref  25705  fnemeet2  25728  fnejoin2  25730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-fne 25675
  Copyright terms: Public domain W3C validator