Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fneuni Structured version   Unicode version

Theorem fneuni 26356
Description: If  B is finer than  A, every element of  A is a union of elements of  B. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
fneuni  |-  ( ( A Fne B  /\  S  e.  A )  ->  E. x ( x 
C_  B  /\  S  =  U. x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, S

Proof of Theorem fneuni
StepHypRef Expression
1 fnetg 26354 . . 3  |-  ( A Fne B  ->  A  C_  ( topGen `  B )
)
21sselda 3348 . 2  |-  ( ( A Fne B  /\  S  e.  A )  ->  S  e.  ( topGen `  B ) )
3 elfvdm 5757 . . . 4  |-  ( S  e.  ( topGen `  B
)  ->  B  e.  dom  topGen )
4 eltg3 17027 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( S  e.  ( topGen `  B )  <->  E. x
( x  C_  B  /\  S  =  U. x ) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( S  e.  ( topGen `  B )  <->  E. x ( x  C_  B  /\  S  =  U. x ) ) )
65ibi 233 . 2  |-  ( S  e.  ( topGen `  B
)  ->  E. x
( x  C_  B  /\  S  =  U. x ) )
72, 6syl 16 1  |-  ( ( A Fne B  /\  S  e.  A )  ->  E. x ( x 
C_  B  /\  S  =  U. x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   U.cuni 4015   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ` cfv 5454   topGenctg 13665   Fnecfne 26339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-topgen 13667  df-fne 26343
  Copyright terms: Public domain W3C validator