MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fniniseg Unicode version

Theorem fniniseg 5662
Description: Membership in the preimage of a singleton, under a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fniniseg  |-  ( F  Fn  A  ->  ( C  e.  ( `' F " { B }
)  <->  ( C  e.  A  /\  ( F `
 C )  =  B ) ) )

Proof of Theorem fniniseg
StepHypRef Expression
1 elpreima 5661 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  ( C  e.  ( `' F " { B }
)  <->  ( C  e.  A  /\  ( F `
 C )  e. 
{ B } ) ) )
2 fvex 5555 . . . 4  |-  ( F `
 C )  e. 
_V
32elsnc 3676 . . 3  |-  ( ( F `  C )  e.  { B }  <->  ( F `  C )  =  B )
43anbi2i 675 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( F `  C )  e.  { B }
)  <->  ( C  e.  A  /\  ( F `
 C )  =  B ) )
51, 4syl6bb 252 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( C  e.  ( `' F " { B }
)  <->  ( C  e.  A  /\  ( F `
 C )  =  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {csn 3653   `'ccnv 4704   "cima 4708    Fn wfn 5266   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  fparlem1  6234  fparlem2  6235  pw2f1olem  6982  recmulnq  8604  dmrecnq  8608  vdwlem1  13044  vdwlem2  13045  vdwlem6  13049  vdwlem8  13051  vdwlem9  13052  vdwlem12  13055  vdwlem13  13056  ramval  13071  ramub1lem1  13089  ghmeqker  14725  efgrelexlemb  15075  efgredeu  15077  qtopeu  17423  itg1addlem1  19063  i1faddlem  19064  i1fmullem  19065  i1fmulclem  19073  i1fres  19076  itg10a  19081  itg1ge0a  19082  itg1climres  19085  mbfi1fseqlem4  19089  ply1remlem  19564  ply1rem  19565  fta1glem1  19567  fta1glem2  19568  fta1g  19569  fta1blem  19570  plyco0  19590  ofmulrt  19678  plyremlem  19700  plyrem  19701  fta1lem  19703  fta1  19704  vieta1lem1  19706  vieta1lem2  19707  vieta1  19708  plyexmo  19709  elaa  19712  aannenlem1  19724  aalioulem2  19729  pilem1  19843  efif1olem3  19922  efif1olem4  19923  efifo  19925  eff1olem  19926  basellem4  20337  lgsqrlem2  20597  lgsqrlem3  20598  rpvmasum2  20677  dirith  20694  indpi1  23620  indpreima  23623  cvmliftlem6  23836  cvmliftlem7  23837  cvmliftlem8  23838  cvmliftlem9  23839  itg2addnclem  25003  itg2addnclem2  25004  pw2f1o2val2  27236  dnnumch3  27247  proot1mul  27618  proot1hash  27622  proot1ex  27623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279
  Copyright terms: Public domain W3C validator