MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt Unicode version

Theorem fnmpt 5386
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfng.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
fnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem fnmpt
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2631 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 mptfng.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
43mptfng 5385 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  F  Fn  A
)
52, 4sylib 188 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093    Fn wfn 5266
This theorem is referenced by:  mpt0  5387  ralrnmpt  5685  fmpt  5697  fmpt2d  5704  f1ocnvd  6082  offval2  6111  ofrfval2  6112  mptelixpg  6869  fifo  7201  infmap2  7860  compssiso  8016  gruiun  8437  seqof  11119  rlimi2  12004  rlimmptrcl  12097  prdsbas3  13396  prdsbascl  13398  prdsdsval2  13399  divslem  13461  fnmrc  13525  dprdwd  15262  neif  16853  tgrest  16906  cmpfi  17151  elptr2  17285  xkoptsub  17364  ptcmplem2  17763  ptcmplem3  17764  prdsxmetlem  17948  prdsxmslem2  18091  bcth3  18769  uniioombllem6  18959  itg2const  19111  iblcnlem  19159  ellimc2  19243  dvrec  19320  dvmptres3  19321  ulmss  19790  ulmdvlem1  19793  ulmdvlem2  19794  ulmdvlem3  19795  itgulm2  19801  psercn  19818  f1o3d  23053  rmulccn  23316  esumnul  23442  esum0  23443  ofcfn  23476  ofcfval2  23480  hbtlem7  27432  pmtrrn  27502  pmtrfrn  27503  refsumcn  27804  stoweidlem31  27883  stoweidlem59  27911  stirlinglem13  27938  dfafn5b  28129  cdlemk56  31782  dicfnN  31995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-fun 5273  df-fn 5274
  Copyright terms: Public domain W3C validator