MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt Structured version   Unicode version

Theorem fnmpt 5563
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfng.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
fnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem fnmpt
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2773 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 mptfng.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
43mptfng 5562 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  F  Fn  A
)
52, 4sylib 189 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    e. cmpt 4258    Fn wfn 5441
This theorem is referenced by:  mpt0  5564  ralrnmpt  5870  fmpt  5882  fmpt2d  5890  f1ocnvd  6285  offval2  6314  ofrfval2  6315  mptelixpg  7091  fifo  7429  infmap2  8090  compssiso  8246  gruiun  8666  seqof  11372  rlimi2  12300  rlimmptrcl  12393  prdsbas3  13695  prdsbascl  13697  prdsdsval2  13698  divslem  13760  fnmrc  13824  dprdwd  15561  neif  17156  tgrest  17215  cmpfi  17463  elptr2  17598  xkoptsub  17678  ptcmplem2  18076  ptcmplem3  18077  prdsxmetlem  18390  prdsxmslem2  18551  bcth3  19276  uniioombllem6  19472  itg2const  19624  iblcnlem  19672  ellimc2  19756  dvrec  19833  dvmptres3  19834  ulmss  20305  ulmdvlem1  20308  ulmdvlem2  20309  ulmdvlem3  20310  itgulm2  20317  psercn  20334  f1o3d  24033  rmulccn  24306  esumnul  24435  esum0  24436  ofcfval2  24479  hbtlem7  27297  pmtrrn  27367  pmtrfrn  27368  refsumcn  27668  stoweidlem31  27747  stoweidlem59  27775  stirlinglem13  27802  dfafn5b  27992  cdlemk56  31705  dicfnN  31918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-fun 5448  df-fn 5449
  Copyright terms: Public domain W3C validator