MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt Unicode version

Theorem fnmpt 5504
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfng.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
fnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem fnmpt
StepHypRef Expression
1 elex 2900 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2717 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 mptfng.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
43mptfng 5503 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  F  Fn  A
)
52, 4sylib 189 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   _Vcvv 2892    e. cmpt 4200    Fn wfn 5382
This theorem is referenced by:  mpt0  5505  ralrnmpt  5810  fmpt  5822  fmpt2d  5830  f1ocnvd  6225  offval2  6254  ofrfval2  6255  mptelixpg  7028  fifo  7365  infmap2  8024  compssiso  8180  gruiun  8600  seqof  11300  rlimi2  12228  rlimmptrcl  12321  prdsbas3  13623  prdsbascl  13625  prdsdsval2  13626  divslem  13688  fnmrc  13752  dprdwd  15489  neif  17080  tgrest  17138  cmpfi  17386  elptr2  17520  xkoptsub  17600  ptcmplem2  17998  ptcmplem3  17999  prdsxmetlem  18299  prdsxmslem2  18442  bcth3  19146  uniioombllem6  19340  itg2const  19492  iblcnlem  19540  ellimc2  19624  dvrec  19701  dvmptres3  19702  ulmss  20173  ulmdvlem1  20176  ulmdvlem2  20177  ulmdvlem3  20178  itgulm2  20185  psercn  20202  f1o3d  23877  rmulccn  24111  esumnul  24232  esum0  24233  ofcfval2  24276  hbtlem7  26991  pmtrrn  27061  pmtrfrn  27062  refsumcn  27362  stoweidlem31  27441  stoweidlem59  27469  stirlinglem13  27496  dfafn5b  27687  cdlemk56  31136  dicfnN  31349
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pr 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-fun 5389  df-fn 5390
  Copyright terms: Public domain W3C validator