MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt Unicode version

Theorem fnmpt 5370
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfng.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
fnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem fnmpt
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2618 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 mptfng.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
43mptfng 5369 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  F  Fn  A
)
52, 4sylib 188 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077    Fn wfn 5250
This theorem is referenced by:  mpt0  5371  ralrnmpt  5669  fmpt  5681  fmpt2d  5688  f1ocnvd  6066  offval2  6095  ofrfval2  6096  mptelixpg  6853  fifo  7185  infmap2  7844  compssiso  8000  gruiun  8421  seqof  11103  rlimi2  11988  rlimmptrcl  12081  prdsbas3  13380  prdsbascl  13382  prdsdsval2  13383  divslem  13445  fnmrc  13509  dprdwd  15246  neif  16837  tgrest  16890  cmpfi  17135  elptr2  17269  xkoptsub  17348  ptcmplem2  17747  ptcmplem3  17748  prdsxmetlem  17932  prdsxmslem2  18075  bcth3  18753  uniioombllem6  18943  itg2const  19095  iblcnlem  19143  ellimc2  19227  dvrec  19304  dvmptres3  19305  ulmss  19774  ulmdvlem1  19777  ulmdvlem2  19778  ulmdvlem3  19779  itgulm2  19785  psercn  19802  f1o3d  23037  rmulccn  23301  esumnul  23427  esum0  23428  ofcfn  23461  ofcfval2  23465  hbtlem7  27329  pmtrrn  27399  pmtrfrn  27400  refsumcn  27701  stoweidlem31  27780  stoweidlem59  27808  stirlinglem13  27835  dfafn5b  28023  cdlemk56  31160  dicfnN  31373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-fun 5257  df-fn 5258
  Copyright terms: Public domain W3C validator