MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpti Structured version   Unicode version

Theorem fnmpti 5573
Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fnmpti.1  |-  B  e. 
_V
fnmpti.2  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
fnmpti  |-  F  Fn  A
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)

Proof of Theorem fnmpti
StepHypRef Expression
1 fnmpti.1 . . 3  |-  B  e. 
_V
21rgenw 2773 . 2  |-  A. x  e.  A  B  e.  _V
3 fnmpti.2 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
43mptfng 5570 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  F  Fn  A
)
52, 4mpbi 200 1  |-  F  Fn  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    e. cmpt 4266    Fn wfn 5449
This theorem is referenced by:  dmmpti  5574  fconst  5629  dffn5  5772  eufnfv  5972  idref  5979  offn  6316  caofinvl  6331  fo1st  6366  fo2nd  6367  reldm  6398  mapsnf1o2  7061  unfilem2  7372  fidomdm  7388  pwfilem  7401  noinfep  7614  aceq3lem  8001  dfac4  8003  ackbij2lem2  8120  cfslb2n  8148  axcc2lem  8316  konigthlem  8443  rankcf  8652  tskuni  8658  seqf1o  11364  ccatlen  11744  swrdlen  11770  sqrf  12167  fsumrev  12562  fsumshft  12563  efcvgfsum  12688  prmreclem2  13285  1arith  13295  vdwlem6  13354  vdwlem8  13356  slotfn  13483  topnfn  13653  fnmre  13816  cidffn  13903  cidfn  13904  funcres  14093  yonedainv  14378  fn0g  14708  grpinvfn  14845  conjnmz  15039  odf  15175  sylow1lem4  15235  pgpssslw  15248  sylow2blem3  15256  sylow3lem2  15262  cygctb  15501  dprd2da  15600  fnmgp  15650  rlmfn  16263  asclfn  16395  fncld  17086  hauseqlcld  17678  kqf  17779  filunirn  17914  fmf  17977  txflf  18038  clsnsg  18139  tgpconcomp  18142  divstgpopn  18149  divstgplem  18150  ustfn  18231  xmetunirn  18367  met1stc  18551  ovolf  19378  vitali  19505  i1fmulc  19595  mbfi1fseqlem4  19610  itg2seq  19634  itg2monolem1  19642  i1fibl  19699  fncpn  19819  lhop1lem  19897  evlslem1  19936  mdegxrf  19991  aannenlem3  20247  logccv  20554  padicabvf  21325  fngid  21802  grpoinvf  21828  occllem  22805  pjfni  23203  pjmfn  23217  rnbra  23610  bra11  23611  kbass2  23620  hmopidmchi  23654  xppreima2  24060  abfmpunirn  24064  dmct  24106  ofcfn  24483  sxbrsigalem3  24622  fprodshft  25300  fprodrev  25301  faclimlem1  25362  mptelee  25834  mblfinlem2  26244  volsupnfl  26251  cnambfre  26255  itg2addnclem2  26257  itg2addnclem3  26258  ftc1anclem5  26284  ftc1anclem7  26286  sdclem2  26446  prdsbnd2  26504  rrncmslem  26541  rmxypairf1o  26974  frlmup4  27230  hbtlem6  27310  dgraaf  27329  psgnfn  27401  cytpfn  27504  addrfn  27653  subrfn  27654  mulvfn  27655  ccatvalfn  28178  swrdvalfn  28186  swrdswrd  28199  diafn  31832  cdlemm10N  31916  dibfna  31952  lcfrlem9  32348  mapd1o  32446  hdmapfnN  32630  hgmapfnN  32689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-fun 5456  df-fn 5457
  Copyright terms: Public domain W3C validator