Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnmulcv Unicode version

Theorem fnmulcv 25787
 Description: Functionality of scalar multiplication. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ismulcv.1
Assertion
Ref Expression
fnmulcv

Proof of Theorem fnmulcv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8834 . . . . . . . . . 10
2 ovex 5899 . . . . . . . . . 10
31, 2elmap 6812 . . . . . . . . 9
4 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
5 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . 13
65expcom 424 . . . . . . . . . . . 12
74, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11
87ralrimdva 2646 . . . . . . . . . 10
98a1dd 42 . . . . . . . . 9
103, 9sylbi 187 . . . . . . . 8
1110impcom 419 . . . . . . 7
1211impcom 419 . . . . . 6
13 eqid 2296 . . . . . . 7
1413fmpt 5697 . . . . . 6
1512, 14sylib 188 . . . . 5
161, 2pm3.2i 441 . . . . . 6
17 elmapg 6801 . . . . . 6
1816, 17mp1i 11 . . . . 5
1915, 18mpbird 223 . . . 4
2019ralrimivva 2648 . . 3
21 eqid 2296 . . . 4
2221fmpt2 6207 . . 3
2320, 22sylib 188 . 2
24 ismulcv.1 . . . 4
25 ovex 5899 . . . . . . 7
261, 25pm3.2i 441 . . . . . 6
27 mpt2exga 6213 . . . . . 6
2826, 27mp1i 11 . . . . 5
29 eqidd 2297 . . . . . . 7
30 oveq2 5882 . . . . . . . 8
3130oveq2d 5890 . . . . . . 7
32 mpteq1 4116 . . . . . . . 8
3330, 32syl 15 . . . . . . 7
3429, 31, 33mpt2eq123dv 5926 . . . . . 6
35 df-mulcv 25783 . . . . . 6
3634, 35fvmptg 5616 . . . . 5
3728, 36mpdan 649 . . . 4
3824, 37syl5eq 2340 . . 3
3938feq1d 5395 . 2
4023, 39mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801   cmpt 4093   cxp 4703  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876   cmap 6788  cc 8751  c1 8754   cmul 8758  cn 9762  cfz 10798  csmcv 25782 This theorem is referenced by:  vecscmonto  25789  tcnvec  25793 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-mulcl 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-mulcv 25783
 Copyright terms: Public domain W3C validator