Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnmulcv Unicode version

Theorem fnmulcv 25787
Description: Functionality of scalar multiplication. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ismulcv.1  |-  . t  =  ( . cv `  N )
Assertion
Ref Expression
fnmulcv  |-  ( N  e.  NN  ->  . t : ( CC  X.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )

Proof of Theorem fnmulcv
Dummy variables  n  s  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8834 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
2 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
31, 2elmap 6812 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  u :
( 1 ... N
) --> CC )
4 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( u `  x )  e.  CC )
5 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  CC  /\  ( u `  x
)  e.  CC )  ->  ( s  x.  ( u `  x
) )  e.  CC )
65expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u `  x )  e.  CC  ->  (
s  e.  CC  ->  ( s  x.  ( u `
 x ) )  e.  CC ) )
74, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( s  e.  CC  ->  ( s  x.  ( u `  x
) )  e.  CC ) )
87ralrimdva 2646 . . . . . . . . . 10  |-  ( u : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( s  e.  CC  ->  A. x  e.  ( 1 ... N ) ( s  x.  ( u `
 x ) )  e.  CC ) )
98a1dd 42 . . . . . . . . 9  |-  ( u : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( s  e.  CC  ->  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... N ) ( s  x.  ( u `
 x ) )  e.  CC ) ) )
103, 9sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  CC  ->  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... N ) ( s  x.  ( u `
 x ) )  e.  CC ) ) )
1110impcom 419 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  CC  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... N ) ( s  x.  (
u `  x )
)  e.  CC ) )
1211impcom 419 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( s  e.  CC  /\  u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( s  x.  ( u `  x
) )  e.  CC )
13 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( s  x.  ( u `  x
) ) )
1413fmpt 5697 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... N ) ( s  x.  ( u `
 x ) )  e.  CC  <->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( s  x.  ( u `  x
) ) ) : ( 1 ... N
) --> CC )
1512, 14sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( s  e.  CC  /\  u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( s  x.  ( u `  x
) ) ) : ( 1 ... N
) --> CC )
161, 2pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( CC  e.  _V  /\  (
1 ... N )  e. 
_V )
17 elmapg 6801 . . . . . 6  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( s  x.  ( u `  x
) ) )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( s  x.  (
u `  x )
) ) : ( 1 ... N ) --> CC ) )
1816, 17mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( s  e.  CC  /\  u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  <->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( s  x.  ( u `  x
) ) ) : ( 1 ... N
) --> CC ) )
1915, 18mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( s  e.  CC  /\  u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( s  x.  ( u `  x
) ) )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
2019ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  A. s  e.  CC  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( s  x.  (
u `  x )
) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
21 eqid 2296 . . . 4  |-  ( s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( s  x.  (
u `  x )
) ) )  =  ( s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `
 x ) ) ) )
2221fmpt2 6207 . . 3  |-  ( A. s  e.  CC  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( s  x.  (
u `  x )
) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
( s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `
 x ) ) ) ) : ( CC  X.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
2320, 22sylib 188 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `  x ) ) ) ) : ( CC 
X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
24 ismulcv.1 . . . 4  |-  . t  =  ( . cv `  N )
25 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  e. 
_V
261, 25pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( CC  e.  _V  /\  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  e. 
_V )
27 mpt2exga 6213 . . . . . 6  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  e.  _V )  -> 
( s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `
 x ) ) ) )  e.  _V )
2826, 27mp1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `  x ) ) ) )  e.  _V )
29 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  CC  =  CC )
30 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... N
) )
3130oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( CC  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
32 mpteq1 4116 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... N )  ->  (
x  e.  ( 1 ... n )  |->  ( s  x.  ( u `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `  x ) ) ) )
3330, 32syl 15 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  ( 1 ... n )  |->  ( s  x.  ( u `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `  x ) ) ) )
3429, 31, 33mpt2eq123dv 5926 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... n
) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... n )  |->  ( s  x.  ( u `  x ) ) ) )  =  ( s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( s  x.  (
u `  x )
) ) ) )
35 df-mulcv 25783 . . . . . 6  |-  . cv  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... n ) ) 
|->  ( x  e.  ( 1 ... n ) 
|->  ( s  x.  (
u `  x )
) ) ) )
3634, 35fvmptg 5616 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `
 x ) ) ) )  e.  _V )  ->  ( . cv `  N )  =  ( s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `  x ) ) ) ) )
3728, 36mpdan 649 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( . cv `  N )  =  ( s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( s  x.  (
u `  x )
) ) ) )
3824, 37syl5eq 2340 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  . t  =  ( s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( s  x.  (
u `  x )
) ) ) )
3938feq1d 5395 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( . t : ( CC 
X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
( s  e.  CC ,  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  |->  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( s  x.  ( u `
 x ) ) ) ) : ( CC  X.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
4023, 39mpbird 223 1  |-  ( N  e.  NN  ->  . t : ( CC  X.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    ^m cmap 6788   CCcc 8751   1c1 8754    x. cmul 8758   NNcn 9762   ...cfz 10798   . cvcsmcv 25782
This theorem is referenced by:  vecscmonto  25789  tcnvec  25793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-mulcl 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-mulcv 25783
  Copyright terms: Public domain W3C validator