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Theorem fnn0ind 10158
Description: Induction on the integers from  0 to  N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fnn0ind.1  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fnn0ind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
fnn0ind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fnn0ind.4  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
fnn0ind.5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ps )
fnn0ind.6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  NN0  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
fnn0ind  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, K    x, y, N    ch, x    ph, y    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    K( y)

Proof of Theorem fnn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 10083 . . . 4  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
2 nn0z 10093 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 0z 10082 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
4 fnn0ind.1 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
5 fnn0ind.2 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
6 fnn0ind.3 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
7 fnn0ind.4 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
8 elnn0z 10083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
9 fnn0ind.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ps )
108, 9sylbir 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ps )
11103adant1 973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ps )
12 zre 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
13 zre 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 0re 8883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
15 lelttr 8957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  0  <  N
) )
16 ltle 8955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  N  ->  0  <_  N )
)
17163adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
0  <  N  ->  0  <_  N ) )
1815, 17syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N
) )
1914, 18mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_ 
y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N ) )
2012, 13, 19syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_ 
y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N ) )
2120ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N
) ) )
2221com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  0  <_  N ) ) )
23223impib 1149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  0  <_  N ) )
2423impcom 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  0  <_  N
)
25 elnn0z 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN0  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) )
2625anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  y  <  N )  <->  ( (
y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  /\  y  <  N ) )
27 fnn0ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  NN0  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) )
28273expb 1152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( y  e.  NN0  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
298, 26, 28syl2anbr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  /\  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y )  /\  y  <  N ) )  -> 
( ch  ->  th )
)
3029expcom 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  /\  y  <  N )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
31303impa 1146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ( ch  ->  th )
) )
3231exp3a 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  N  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
3332impcom 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  ( 0  <_  N  ->  ( ch  ->  th ) ) )
3424, 33mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
3534adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
364, 5, 6, 7, 11, 35fzind 10157 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
373, 36mpanl1 661 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  ta )
3837expcom 424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) )
392, 38syl5 28 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ta ) )
40393expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  K  <_  N )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ta ) )
411, 40sylanb 458 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <_  N )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ta ) )
4241impcom 419 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <_  N )
)  ->  ta )
43423impb 1147 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   class class class wbr 4060  (class class class)co 5900   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    < clt 8912    <_ cle 8913   NN0cn0 10012   ZZcz 10071
This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  12787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072
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