MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnoe Structured version   Unicode version

Theorem fnoe 6755
Description: Functionality and domain of ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnoe  |-  ^o  Fn  ( On  X.  On )

Proof of Theorem fnoe
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oexp 6731 . 2  |-  ^o  =  ( x  e.  On ,  y  e.  On  |->  if ( x  =  (/) ,  ( 1o  \  y
) ,  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  .o  x ) ) ,  1o ) `  y
) ) )
2 1on 6732 . . . 4  |-  1o  e.  On
3 difexg 4352 . . . 4  |-  ( 1o  e.  On  ->  ( 1o  \  y )  e. 
_V )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  ( 1o 
\  y )  e. 
_V
5 fvex 5743 . . 3  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  .o  x ) ) ,  1o ) `  y
)  e.  _V
64, 5ifex 3798 . 2  |-  if ( x  =  (/) ,  ( 1o  \  y ) ,  ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  .o  x
) ) ,  1o ) `  y )
)  e.  _V
71, 6fnmpt2i 6421 1  |-  ^o  Fn  ( On  X.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957    \ cdif 3318   (/)c0 3629   ifcif 3740    e. cmpt 4267   Oncon0 4582    X. cxp 4877    Fn wfn 5450   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   reccrdg 6668   1oc1o 6718    .o comu 6723    ^o coe 6724
This theorem is referenced by:  oaabs2  6889  omabs  6891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-suc 4588  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-fv 5463  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-1o 6725  df-oexp 6731
  Copyright terms: Public domain W3C validator