MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnresdm Unicode version

Theorem fnresdm 5369
Description: A function does not change when restricted to its domain. (Contributed by NM, 5-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
fnresdm  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )

Proof of Theorem fnresdm
StepHypRef Expression
1 fnrel 5358 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  Rel  F )
2 fndm 5359 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
3 eqimss 3243 . . 3  |-  ( dom 
F  =  A  ->  dom  F  C_  A )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F 
C_  A )
5 relssres 5008 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  dom  F 
C_  A )  -> 
( F  |`  A )  =  F )
61, 4, 5syl2anc 642 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    C_ wss 3165   dom cdm 4705    |` cres 4707   Rel wrel 4710    Fn wfn 5266
This theorem is referenced by:  fnima  5378  fresin  5426  resasplit  5427  fresaunres2  5429  fnsnsplit  5733  fsnunfv  5736  fsnunres  5737  fnsuppeq0  5749  abianfp  6487  mapunen  7046  fnfi  7150  canthp1lem2  8291  fseq1p1m1  10873  facnn  11306  fac0  11307  hashgval  11356  hashinf  11358  rlimres  12048  lo1res  12049  rlimresb  12055  isercolllem2  12155  isercoll  12157  ruclem4  12528  sscres  13716  sscid  13717  gsumzres  15210  zzngim  16522  ptuncnv  17514  ptcmpfi  17520  tsmsres  17842  imasdsf1olem  17953  tmslem  18044  tmsxms  18048  imasf1oxms  18051  prdsxms  18092  tmsxps  18098  tmsxpsmopn  18099  isngp2  18135  tngngp2  18184  cnfldms  18301  cncms  18790  mbfres2  19016  dvres  19277  dvres3a  19280  cpnres  19302  dvmptres3  19321  dvlip2  19358  dvgt0lem2  19366  dvne0  19374  rlimcnp2  20277  jensen  20299  subgores  20987  sspg  21320  ssps  21322  sspn  21328  hhsssh  21862  subfacp1lem3  23728  subfacp1lem5  23730  cvmliftlem11  23841  eupath2  23919  fninfp  26857  mapfzcons1  26897  eq0rabdioph  26959  eldioph4b  26997  diophren  26999  pwssplit1  27291  pwssplit4  27294  bnj142  29070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-dm 4715  df-res 4717  df-fun 5273  df-fn 5274
  Copyright terms: Public domain W3C validator