MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnresdm Unicode version

Theorem fnresdm 5353
Description: A function does not change when restricted to its domain. (Contributed by NM, 5-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
fnresdm  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )

Proof of Theorem fnresdm
StepHypRef Expression
1 fnrel 5342 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  Rel  F )
2 fndm 5343 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
3 eqimss 3230 . . 3  |-  ( dom 
F  =  A  ->  dom  F  C_  A )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F 
C_  A )
5 relssres 4992 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  dom  F 
C_  A )  -> 
( F  |`  A )  =  F )
61, 4, 5syl2anc 642 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    C_ wss 3152   dom cdm 4689    |` cres 4691   Rel wrel 4694    Fn wfn 5250
This theorem is referenced by:  fnima  5362  fresin  5410  resasplit  5411  fresaunres2  5413  fnsnsplit  5717  fsnunfv  5720  fsnunres  5721  fnsuppeq0  5733  abianfp  6471  mapunen  7030  fnfi  7134  canthp1lem2  8275  fseq1p1m1  10857  facnn  11290  fac0  11291  hashgval  11340  hashinf  11342  rlimres  12032  lo1res  12033  rlimresb  12039  isercolllem2  12139  isercoll  12141  ruclem4  12512  sscres  13700  sscid  13701  gsumzres  15194  zzngim  16506  ptuncnv  17498  ptcmpfi  17504  tsmsres  17826  imasdsf1olem  17937  tmslem  18028  tmsxms  18032  imasf1oxms  18035  prdsxms  18076  tmsxps  18082  tmsxpsmopn  18083  isngp2  18119  tngngp2  18168  cnfldms  18285  cncms  18774  mbfres2  19000  dvres  19261  dvres3a  19264  cpnres  19286  dvmptres3  19305  dvlip2  19342  dvgt0lem2  19350  dvne0  19358  rlimcnp2  20261  jensen  20283  subgores  20971  sspg  21304  ssps  21306  sspn  21312  hhsssh  21846  subfacp1lem3  23713  subfacp1lem5  23715  cvmliftlem11  23826  eupath2  23904  fninfp  26754  mapfzcons1  26794  eq0rabdioph  26856  eldioph4b  26894  diophren  26896  pwssplit1  27188  pwssplit4  27191  bnj142  28754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-dm 4699  df-res 4701  df-fun 5257  df-fn 5258
  Copyright terms: Public domain W3C validator