MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnresdm Structured version   Unicode version

Theorem fnresdm 5546
Description: A function does not change when restricted to its domain. (Contributed by NM, 5-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
fnresdm  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )

Proof of Theorem fnresdm
StepHypRef Expression
1 fnrel 5535 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  Rel  F )
2 fndm 5536 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
3 eqimss 3392 . . 3  |-  ( dom 
F  =  A  ->  dom  F  C_  A )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F 
C_  A )
5 relssres 5175 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  dom  F 
C_  A )  -> 
( F  |`  A )  =  F )
61, 4, 5syl2anc 643 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    C_ wss 3312   dom cdm 4870    |` cres 4872   Rel wrel 4875    Fn wfn 5441
This theorem is referenced by:  fnima  5555  fresin  5604  resasplit  5605  fresaunres2  5607  fnsnsplit  5922  fsnunfv  5925  fsnunres  5926  fnsuppeq0  5945  abianfp  6708  mapunen  7268  fnfi  7376  canthp1lem2  8520  fseq1p1m1  11114  facnn  11560  fac0  11561  hashgval  11613  hashinf  11615  rlimres  12344  lo1res  12345  rlimresb  12351  isercolllem2  12451  isercoll  12453  ruclem4  12825  sscres  14015  sscid  14016  gsumzres  15509  zzngim  16825  ptuncnv  17831  ptcmpfi  17837  tsmsres  18165  imasdsf1olem  18395  tmslem  18504  tmsxms  18508  imasf1oxms  18511  prdsxms  18552  tmsxps  18558  tmsxpsmopn  18559  isngp2  18636  tngngp2  18685  cnfldms  18802  cncms  19301  cnfldcusp  19303  mbfres2  19529  dvres  19790  dvres3a  19793  cpnres  19815  dvmptres3  19834  dvlip2  19871  dvgt0lem2  19879  dvne0  19887  rlimcnp2  20797  jensen  20819  eupath2  21694  subgores  21884  sspg  22219  ssps  22221  sspn  22227  hhsssh  22761  indf1ofs  24415  sitgclcn  24650  subfacp1lem3  24860  subfacp1lem5  24862  cvmliftlem11  24974  fninfp  26726  mapfzcons1  26764  eq0rabdioph  26826  eldioph4b  26863  diophren  26865  pwssplit1  27156  pwssplit4  27159  bnj142  29030
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4876  df-rel 4877  df-dm 4880  df-res 4882  df-fun 5448  df-fn 5449
  Copyright terms: Public domain W3C validator