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Theorem fnse 6430
Description: Condition for the well-order in fnwe 6429 to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fnse.1  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
fnse.2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
fnse.3  |-  ( ph  ->  R Se  B )
fnse.4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
w )  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
fnse  |-  ( ph  ->  T Se  A )
Distinct variable groups:    x, y, A    w, B    x, w, y, F    ph, w    w, R, x, y    x, S, y    w, T
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( w)    B( x, y)    S( w)    T( x, y)

Proof of Theorem fnse
Dummy variables  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnse.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
21ffvelrnda 5837 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  B )
3 fnse.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R Se  B )
4 seex 4513 . . . . . . . 8  |-  ( ( R Se  B  /\  ( F `  z )  e.  B )  ->  { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  e.  _V )
53, 4sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  z )  e.  B
)  ->  { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  e.  _V )
62, 5syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  e.  _V )
7 snex 4373 . . . . . 6  |-  { ( F `  z ) }  e.  _V
8 unexg 4677 . . . . . 6  |-  ( ( { u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  e.  _V  /\  {
( F `  z
) }  e.  _V )  ->  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  e. 
_V )
96, 7, 8sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( { u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  u.  { ( F `
 z ) } )  e.  _V )
10 imaeq2 5166 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  -> 
( `' F "
w )  =  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) )
1110eleq1d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  -> 
( ( `' F " w )  e.  _V  <->  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) )  e.  _V ) )
1211imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  -> 
( ( ph  ->  ( `' F " w )  e.  _V )  <->  ( ph  ->  ( `' F "
( { u  e.  B  |  u R ( F `  z
) }  u.  {
( F `  z
) } ) )  e.  _V ) ) )
13 fnse.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
w )  e.  _V )
1412, 13vtoclg 2979 . . . . . 6  |-  ( ( { u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  u.  { ( F `
 z ) } )  e.  _V  ->  (
ph  ->  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z
) }  u.  {
( F `  z
) } ) )  e.  _V ) )
1514impcom 420 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {
u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  e. 
_V )  ->  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) )  e.  _V )
169, 15syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) )  e.  _V )
17 inss2 3530 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  C_  ( `' T " { z } )
18 vex 2927 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
19 vex 2927 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
2019eliniseg 5200 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  (
w  e.  ( `' T " { z } )  <->  w T
z ) )
2118, 20ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( `' T " { z } )  <-> 
w T z )
22 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
23 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
2422, 23breqan12d 4195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  z )  ->  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  <-> 
( F `  w
) R ( F `
 z ) ) )
2522, 23eqeqan12d 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  z )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( F `  w
)  =  ( F `
 z ) ) )
26 breq12 4185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  z )  ->  ( x S y  <-> 
w S z ) )
2725, 26anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  z )  ->  ( ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y )  <->  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) ) )
2824, 27orbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  z )  ->  ( ( ( F `
 x ) R ( F `  y
)  \/  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) )  <-> 
( ( F `  w ) R ( F `  z )  \/  ( ( F `
 w )  =  ( F `  z
)  /\  w S
z ) ) ) )
29 fnse.1 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
3028, 29brab2ga 4918 . . . . . . . . 9  |-  ( w T z  <->  ( (
w  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( ( F `  w ) R ( F `  z )  \/  ( ( F `
 w )  =  ( F `  z
)  /\  w S
z ) ) ) )
311ffvelrnda 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  w )  e.  B )
3231adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( F `  w
)  e.  B )
33 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( F `  w )  ->  (
u R ( F `
 z )  <->  ( F `  w ) R ( F `  z ) ) )
3433elrab3 3061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  (
( F `  w
)  e.  { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  <->  ( F `  w ) R ( F `  z ) ) )
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( F `  w )  e.  {
u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  <->  ( F `  w ) R ( F `  z ) ) )
3635biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( F `  w ) R ( F `  z )  ->  ( F `  w )  e.  {
u  e.  B  |  u R ( F `  z ) } ) )
37 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  w
)  =  ( F `
 z )  /\  w S z )  -> 
( F `  w
)  =  ( F `
 z ) )
38 fvex 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
3938elsnc 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  w )  e.  { ( F `
 z ) }  <-> 
( F `  w
)  =  ( F `
 z ) )
4037, 39sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  w
)  =  ( F `
 z )  /\  w S z )  -> 
( F `  w
)  e.  { ( F `  z ) } )
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( F `
 w )  =  ( F `  z
)  /\  w S
z )  ->  ( F `  w )  e.  { ( F `  z ) } ) )
4236, 41orim12d 812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( F `
 w ) R ( F `  z
)  \/  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) )  ->  ( ( F `
 w )  e. 
{ u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  \/  ( F `  w )  e.  {
( F `  z
) } ) ) )
43 elun 3456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  w )  e.  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  <->  ( ( F `  w )  e.  { u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  \/  ( F `  w )  e.  {
( F `  z
) } ) )
4442, 43syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( F `
 w ) R ( F `  z
)  \/  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) )  ->  ( F `  w )  e.  ( { u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  u.  { ( F `
 z ) } ) ) )
45 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
4644, 45jctild 528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( F `
 w ) R ( F `  z
)  \/  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) )  ->  ( w  e.  A  /\  ( F `
 w )  e.  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z
) }  u.  {
( F `  z
) } ) ) ) )
47 ffn 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
481, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4948adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  ->  F  Fn  A )
50 elpreima 5817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  A  ->  (
w  e.  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) )  <-> 
( w  e.  A  /\  ( F `  w
)  e.  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( w  e.  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) )  <-> 
( w  e.  A  /\  ( F `  w
)  e.  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) ) )
5246, 51sylibrd 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( F `
 w ) R ( F `  z
)  \/  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) )  ->  w  e.  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) ) )
5352expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( w  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  w
) R ( F `
 z )  \/  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) ) )  ->  w  e.  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) ) )
5430, 53syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w T z  ->  w  e.  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) ) )
5521, 54syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( `' T " { z } )  ->  w  e.  ( `' F "
( { u  e.  B  |  u R ( F `  z
) }  u.  {
( F `  z
) } ) ) ) )
5655ssrdv 3322 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' T " { z } ) 
C_  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z
) }  u.  {
( F `  z
) } ) ) )
5717, 56syl5ss 3327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  C_  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) )
5857adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  C_  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) )
5916, 58ssexd 4318 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  e.  _V )
6059ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  e. 
_V )
61 dfse2 5204 . 2  |-  ( T Se  A  <->  A. z  e.  A  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  e. 
_V )
6260, 61sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  T Se  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   {crab 2678   _Vcvv 2924    u. cun 3286    i^i cin 3287    C_ wss 3288   {csn 3782   class class class wbr 4180   {copab 4233   Se wse 4507   `'ccnv 4844   "cima 4848    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421
This theorem is referenced by:  r0weon  7858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-id 4466  df-se 4510  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429
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