MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnssres Unicode version

Theorem fnssres 5373
Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
fnssres  |-  ( ( F  Fn  A  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B )  Fn  B )

Proof of Theorem fnssres
StepHypRef Expression
1 fnssresb 5372 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( F  |`  B )  Fn  B  <->  B  C_  A
) )
21biimpar 471 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B )  Fn  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    C_ wss 3165    |` cres 4707    Fn wfn 5266
This theorem is referenced by:  fnresin1  5374  fnresin2  5375  fssres  5424  fvreseq  5644  fnreseql  5651  ffvresb  5706  fnressn  5721  fnsuppres  5748  soisores  5840  ofres  6110  tz7.48lem  6469  tz7.49c  6474  resixp  6867  ixpfi2  7170  dfac12lem1  7785  ackbij2lem3  7883  cfsmolem  7912  alephsing  7918  ttukeylem3  8154  iunfo  8177  fpwwe2lem8  8275  mulnzcnopr  9430  seqfeq2  11085  seqf1olem2  11102  hashgval2  11376  swrd0len  11471  swrdccat1  11476  reeff1  12416  eucalg  12773  sscres  13716  fullsubc  13740  fullresc  13741  funcres2c  13791  dmaf  13897  cdaf  13898  frmdplusg  14492  frmdss2  14501  gass  14771  dprdfadd  15271  mgpf  15368  prdscrngd  15412  subrgascl  16255  upxp  17333  uptx  17335  cnmpt1st  17378  cnmpt2nd  17379  prdstmdd  17822  ressprdsds  17951  prdsxmslem2  18091  xrsdsre  18332  itg1addlem4  19070  recosf1o  19913  resinf1o  19914  dvdsmulf1o  20450  ghgrp  21051  sspg  21320  ssps  21322  sspmlem  21324  sspn  21328  hhssnv  21857  cnre2csqlem  23309  rmulccn  23316  raddcn  23317  subfacp1lem3  23728  subfacp1lem5  23730  cvmlift2lem9a  23849  eupath2lem3  23918  nodenselem6  24411  bpolylem  24855  valdom  25987  filnetlem4  26433  isdrngo2  26692  imaiinfv  26862  fnwe2lem2  27251  aomclem6  27259  deg1mhm  27629  bnj1253  29363  bnj1280  29366  diaintclN  31870  dibintclN  31979  dihintcl  32156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-res 4717  df-fun 5273  df-fn 5274
  Copyright terms: Public domain W3C validator