MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnssres Structured version   Unicode version

Theorem fnssres 5550
Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
fnssres  |-  ( ( F  Fn  A  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B )  Fn  B )

Proof of Theorem fnssres
StepHypRef Expression
1 fnssresb 5549 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( F  |`  B )  Fn  B  <->  B  C_  A
) )
21biimpar 472 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B )  Fn  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    C_ wss 3312    |` cres 4872    Fn wfn 5441
This theorem is referenced by:  fnresin1  5551  fnresin2  5552  fssres  5602  fvreseq  5825  fnreseql  5832  ffvresb  5892  fnressn  5910  fnsuppres  5944  soisores  6039  ofres  6313  tz7.48lem  6690  tz7.49c  6695  resixp  7089  ixpfi2  7397  dfac12lem1  8015  ackbij2lem3  8113  cfsmolem  8142  alephsing  8148  ttukeylem3  8383  iunfo  8406  fpwwe2lem8  8504  mulnzcnopr  9660  seqfeq2  11338  seqf1olem2  11355  hashgval2  11644  swrd0len  11761  swrdccat1  11766  reeff1  12713  eucalg  13070  sscres  14015  fullsubc  14039  fullresc  14040  funcres2c  14090  dmaf  14196  cdaf  14197  frmdplusg  14791  frmdss2  14800  gass  15070  dprdfadd  15570  mgpf  15667  prdscrngd  15711  subrgascl  16550  upxp  17647  uptx  17649  cnmpt1st  17692  cnmpt2nd  17693  cnextfres  18091  prdstmdd  18145  ressprdsds  18393  prdsxmslem2  18551  xrsdsre  18833  itg1addlem4  19583  recosf1o  20429  resinf1o  20430  dvdsmulf1o  20971  eupath2lem3  21693  ghgrp  21948  sspg  22219  ssps  22221  sspmlem  22223  sspn  22227  hhssnv  22756  cnre2csqlem  24300  rmulccn  24306  raddcn  24307  subfacp1lem3  24860  subfacp1lem5  24862  cvmlift2lem9a  24982  nodenselem6  25633  bpolylem  26086  ftc1anclem3  26272  filnetlem4  26401  isdrngo2  26565  imaiinfv  26731  fnwe2lem2  27117  aomclem6  27125  deg1mhm  27494  swrd0swrd  28163  bnj1253  29323  bnj1280  29326  diaintclN  31793  dibintclN  31902  dihintcl  32079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-res 4882  df-fun 5448  df-fn 5449
  Copyright terms: Public domain W3C validator