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Theorem fnwe2lem2 27148
Description: Lemma for fnwe2 27150. An element which is in a minimal fiber and minimal within its fiber is minimal globally; thus  T is well-founded. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fnwe2.su  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  S  =  U )
fnwe2.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x U y ) ) }
fnwe2.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  U  We  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  x ) } )
fnwe2.f  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> B )
fnwe2.r  |-  ( ph  ->  R  We  B )
fnwe2lem2.a  |-  ( ph  ->  a  C_  A )
fnwe2lem2.n0  |-  ( ph  ->  a  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
fnwe2lem2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  a 
A. c  e.  a  -.  c T b )
Distinct variable groups:    y, U, z, a, b, c    x, S, y, a, b, c   
x, R, y, a, b, c    ph, x, y, z, c    x, A, y, z, a, b, c    x, F, y, z, a, b, c    T, a, b, c    B, a, b, c    ph, b
Allowed substitution hints:    ph( a)    B( x, y, z)    R( z)    S( z)    T( x, y, z)    U( x)

Proof of Theorem fnwe2lem2
Dummy variables  d 
e  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnwe2.f . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> B )
2 ffun 5391 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A ) : A --> B  ->  Fun  ( F  |`  A ) )
3 vex 2791 . . . . 5  |-  a  e. 
_V
43funimaex 5330 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  ->  ( ( F  |`  A ) " a
)  e.  _V )
51, 2, 43syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A ) " a
)  e.  _V )
6 fnwe2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  We  B )
7 wefr 4383 . . . 4  |-  ( R  We  B  ->  R  Fr  B )
86, 7syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Fr  B )
9 imassrn 5025 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A ) " a )  C_  ran  ( F  |`  A )
10 frn 5395 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  A ) : A --> B  ->  ran  ( F  |`  A ) 
C_  B )
111, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  A )  C_  B
)
129, 11syl5ss 3190 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A ) " a
)  C_  B )
13 incom 3361 . . . . . 6  |-  ( dom  ( F  |`  A )  i^i  a )  =  ( a  i^i  dom  ( F  |`  A ) )
14 fnwe2lem2.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  a  C_  A )
15 fdm 5393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  A ) : A --> B  ->  dom  ( F  |`  A )  =  A )
161, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( F  |`  A )  =  A )
1714, 16sseqtr4d 3215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  a  C_  dom  ( F  |`  A ) )
18 df-ss 3166 . . . . . . 7  |-  ( a 
C_  dom  ( F  |`  A )  <->  ( a  i^i  dom  ( F  |`  A ) )  =  a )
1917, 18sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( a  i^i  dom  ( F  |`  A ) )  =  a )
2013, 19syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( dom  ( F  |`  A )  i^i  a
)  =  a )
21 fnwe2lem2.n0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  a  =/=  (/) )
2220, 21eqnetrd 2464 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dom  ( F  |`  A )  i^i  a
)  =/=  (/) )
23 imadisj 5032 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A )
" a )  =  (/) 
<->  ( dom  ( F  |`  A )  i^i  a
)  =  (/) )
2423necon3bii 2478 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  A )
" a )  =/=  (/) 
<->  ( dom  ( F  |`  A )  i^i  a
)  =/=  (/) )
2522, 24sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A ) " a
)  =/=  (/) )
26 fri 4355 . . 3  |-  ( ( ( ( ( F  |`  A ) " a
)  e.  _V  /\  R  Fr  B )  /\  ( ( ( F  |`  A ) " a
)  C_  B  /\  ( ( F  |`  A ) " a
)  =/=  (/) ) )  ->  E. d  e.  ( ( F  |`  A )
" a ) A. e  e.  ( ( F  |`  A ) "
a )  -.  e R d )
275, 8, 12, 25, 26syl22anc 1183 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  ( ( F  |`  A )
" a ) A. e  e.  ( ( F  |`  A ) "
a )  -.  e R d )
28 df-ima 4702 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  A ) " a )  =  ran  ( ( F  |`  A )  |`  a
)
2928rexeqi 2741 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  ( ( F  |`  A ) " a ) A. e  e.  ( ( F  |`  A ) "
a )  -.  e R d  <->  E. d  e.  ran  ( ( F  |`  A )  |`  a
) A. e  e.  ( ( F  |`  A ) " a
)  -.  e R d )
30 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  A ) : A --> B  ->  ( F  |`  A )  Fn  A )
311, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  Fn  A )
32 fnssres 5357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  A )  Fn  A  /\  a  C_  A )  ->  (
( F  |`  A )  |`  a )  Fn  a
)
3331, 14, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  |`  a
)  Fn  a )
34 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
)  ->  ( e R d  <->  e R
( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  f )
) )
3534notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
)  ->  ( -.  e R d  <->  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
) ) )
3635ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
)  ->  ( A. e  e.  ( ( F  |`  A ) "
a )  -.  e R d  <->  A. e  e.  ( ( F  |`  A ) " a
)  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  f )
) )
3736rexrn 5667 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  |`  A )  |`  a )  Fn  a  ->  ( E. d  e. 
ran  ( ( F  |`  A )  |`  a
) A. e  e.  ( ( F  |`  A ) " a
)  -.  e R d  <->  E. f  e.  a 
A. e  e.  ( ( F  |`  A )
" a )  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
) ) )
3833, 37syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. d  e. 
ran  ( ( F  |`  A )  |`  a
) A. e  e.  ( ( F  |`  A ) " a
)  -.  e R d  <->  E. f  e.  a 
A. e  e.  ( ( F  |`  A )
" a )  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
) ) )
3929, 38syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  ( ( F  |`  A ) " a
) A. e  e.  ( ( F  |`  A ) " a
)  -.  e R d  <->  E. f  e.  a 
A. e  e.  ( ( F  |`  A )
" a )  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
) ) )
4028raleqi 2740 . . . . . . . 8  |-  ( A. e  e.  ( ( F  |`  A ) "
a )  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
)  <->  A. e  e.  ran  ( ( F  |`  A )  |`  a
)  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  f )
)
41 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  d
)  ->  ( e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
)  <->  ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  d
) R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
) ) )
4241notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  d
)  ->  ( -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
)  <->  -.  ( (
( F  |`  A )  |`  a ) `  d
) R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
) ) )
4342ralrn 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  |`  A )  |`  a )  Fn  a  ->  ( A. e  e. 
ran  ( ( F  |`  A )  |`  a
)  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  f )  <->  A. d  e.  a  -.  ( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  d ) R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
) ) )
4433, 43syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. e  e. 
ran  ( ( F  |`  A )  |`  a
)  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  f )  <->  A. d  e.  a  -.  ( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  d ) R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
) ) )
4540, 44syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  ( ( F  |`  A ) " a
)  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  f )  <->  A. d  e.  a  -.  ( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  d ) R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
) ) )
4645adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  a )  ->  ( A. e  e.  (
( F  |`  A )
" a )  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
)  <->  A. d  e.  a  -.  ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  d
) R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
) ) )
47 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )  |`  a )  =  ( F  |`  a )
)
4814, 47syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  |`  a
)  =  ( F  |`  a ) )
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  a )  /\  d  e.  a )  ->  (
( F  |`  A )  |`  a )  =  ( F  |`  a )
)
5049fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  a )  /\  d  e.  a )  ->  (
( ( F  |`  A )  |`  a
) `  d )  =  ( ( F  |`  a ) `  d
) )
51 fvres 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  a  ->  (
( F  |`  a
) `  d )  =  ( F `  d ) )
5251adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  a )  /\  d  e.  a )  ->  (
( F  |`  a
) `  d )  =  ( F `  d ) )
5350, 52eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  a )  /\  d  e.  a )  ->  (
( ( F  |`  A )  |`  a
) `  d )  =  ( F `  d ) )
5449fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  a )  /\  d  e.  a )  ->  (
( ( F  |`  A )  |`  a
) `  f )  =  ( ( F  |`  a ) `  f
) )
55 fvres 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  a  ->  (
( F  |`  a
) `  f )  =  ( F `  f ) )
5655ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  a )  /\  d  e.  a )  ->  (
( F  |`  a
) `  f )  =  ( F `  f ) )
5754, 56eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  a )  /\  d  e.  a )  ->  (
( ( F  |`  A )  |`  a
) `  f )  =  ( F `  f ) )
5853, 57breq12d 4036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  a )  /\  d  e.  a )  ->  (
( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  d ) R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
)  <->  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )
5958notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  a )  /\  d  e.  a )  ->  ( -.  ( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  d ) R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
)  <->  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )
6059ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  a )  ->  ( A. d  e.  a  -.  ( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  d ) R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
)  <->  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )
6146, 60bitrd 244 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  a )  ->  ( A. e  e.  (
( F  |`  A )
" a )  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a ) `  f
)  <->  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )
6261rexbidva 2560 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  a  A. e  e.  ( ( F  |`  A ) " a
)  -.  e R ( ( ( F  |`  A )  |`  a
) `  f )  <->  E. f  e.  a  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )
6339, 62bitrd 244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  ( ( F  |`  A ) " a
) A. e  e.  ( ( F  |`  A ) " a
)  -.  e R d  <->  E. f  e.  a 
A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )
643inex1 4155 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `
 y )  =  ( F `  f
) } )  e. 
_V
6564a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  ( a  i^i 
{ y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  e.  _V )
6614sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  a )  ->  f  e.  A )
67 fnwe2.su . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  S  =  U )
68 fnwe2.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x U y ) ) }
69 fnwe2.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  U  We  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  x ) } )
7067, 68, 69fnwe2lem1 27147 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  [_ ( F `  f )  /  z ]_ S  We  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )
71 wefr 4383 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ ( F `  f )  /  z ]_ S  We  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) }  ->  [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S  Fr  {
y  e.  A  | 
( F `  y
)  =  ( F `
 f ) } )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  [_ ( F `  f )  /  z ]_ S  Fr  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )
7366, 72syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  a )  ->  [_ ( F `  f )  /  z ]_ S  Fr  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )
7473adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  [_ ( F `  f )  /  z ]_ S  Fr  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )
75 inss2 3390 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `
 y )  =  ( F `  f
) } )  C_  { y  e.  A  | 
( F `  y
)  =  ( F `
 f ) }
7675a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  ( a  i^i 
{ y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  C_  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )
77 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  f  e.  a )
7866adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  f  e.  A
)
79 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  ( F `  f )  =  ( F `  f ) )
80 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  f  ->  ( F `  y )  =  ( F `  f ) )
8180eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  f  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 f )  <->  ( F `  f )  =  ( F `  f ) ) )
8281elrab 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  { y  e.  A  |  ( F `
 y )  =  ( F `  f
) }  <->  ( f  e.  A  /\  ( F `  f )  =  ( F `  f ) ) )
8378, 79, 82sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  f  e.  {
y  e.  A  | 
( F `  y
)  =  ( F `
 f ) } )
84 elin 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( a  i^i 
{ y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  <->  ( f  e.  a  /\  f  e.  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } ) )
8577, 83, 84sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  f  e.  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } ) )
86 ne0i 3461 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( a  i^i 
{ y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  ->  (
a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  =/=  (/) )
8785, 86syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  ( a  i^i 
{ y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  =/=  (/) )
88 fri 4355 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( a  i^i 
{ y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  e.  _V  /\ 
[_ ( F `  f )  /  z ]_ S  Fr  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  /\  ( ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `
 y )  =  ( F `  f
) } )  C_  { y  e.  A  | 
( F `  y
)  =  ( F `
 f ) }  /\  ( a  i^i 
{ y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  =/=  (/) ) )  ->  E. e  e.  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } ) A. g  e.  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  -.  g [_ ( F `  f )  /  z ]_ S
e )
8965, 74, 76, 87, 88syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  E. e  e.  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } ) A. g  e.  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  -.  g [_ ( F `  f )  /  z ]_ S
e )
90 elin 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  ( a  i^i 
{ y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  <->  ( e  e.  a  /\  e  e.  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } ) )
91 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  e  ->  ( F `  y )  =  ( F `  e ) )
9291eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  e  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 f )  <->  ( F `  e )  =  ( F `  f ) ) )
9392elrab 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  { y  e.  A  |  ( F `
 y )  =  ( F `  f
) }  <->  ( e  e.  A  /\  ( F `  e )  =  ( F `  f ) ) )
9493anbi2i 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  e.  a  /\  e  e.  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  <-> 
( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )
9590, 94bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  ( a  i^i 
{ y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  <->  ( e  e.  a  /\  (
e  e.  A  /\  ( F `  e )  =  ( F `  f ) ) ) )
96 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( a  i^i 
{ y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  <->  ( g  e.  a  /\  g  e.  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } ) )
97 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  g  ->  ( F `  y )  =  ( F `  g ) )
9897eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  g  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 f )  <->  ( F `  g )  =  ( F `  f ) ) )
9998elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  { y  e.  A  |  ( F `
 y )  =  ( F `  f
) }  <->  ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) ) )
10099anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  a  /\  g  e.  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  <-> 
( g  e.  a  /\  ( g  e.  A  /\  ( F `
 g )  =  ( F `  f
) ) ) )
10196, 100bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  ( a  i^i 
{ y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  <->  ( g  e.  a  /\  (
g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) ) ) )
102101imbi1i 315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `
 y )  =  ( F `  f
) } )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e )  <-> 
( ( g  e.  a  /\  ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) ) )  ->  -.  g [_ ( F `  f )  /  z ]_ S
e ) )
103 impexp 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  e.  a  /\  ( g  e.  A  /\  ( F `
 g )  =  ( F `  f
) ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e )  <-> 
( g  e.  a  ->  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) ) )
104102, 103bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `
 y )  =  ( F `  f
) } )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e )  <-> 
( g  e.  a  ->  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) ) )
105104ralbii2 2571 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. g  e.  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  -.  g [_ ( F `  f
)  /  z ]_ S e  <->  A. g  e.  a  ( (
g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )
106 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  ->  e  e.  a )
107 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  c  e.  a )  ->  c  e.  a )
108 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d
) R ( F `
 f ) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  (
e  e.  A  /\  ( F `  e )  =  ( F `  f ) ) ) )  ->  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) )
109108ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  c  e.  a )  ->  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) )
110 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  =  c  ->  ( F `  d )  =  ( F `  c ) )
111110breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  c  ->  (
( F `  d
) R ( F `
 f )  <->  ( F `  c ) R ( F `  f ) ) )
112111notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  c  ->  ( -.  ( F `  d
) R ( F `
 f )  <->  -.  ( F `  c ) R ( F `  f ) ) )
113112rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d
) R ( F `
 f ) )  ->  -.  ( F `  c ) R ( F `  f ) )
114107, 109, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  c  e.  a )  ->  -.  ( F `  c ) R ( F `  f ) )
115 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d
) R ( F `
 f ) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  (
e  e.  A  /\  ( F `  e )  =  ( F `  f ) ) ) )  ->  ( F `  e )  =  ( F `  f ) )
116115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  c  e.  a )  ->  ( F `  e )  =  ( F `  f ) )
117116breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  c  e.  a )  ->  (
( F `  c
) R ( F `
 e )  <->  ( F `  c ) R ( F `  f ) ) )
118114, 117mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  c  e.  a )  ->  -.  ( F `  c ) R ( F `  e ) )
11914ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  ->  a  C_  A )
120119sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  c  e.  a )  ->  c  e.  A )
121120adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  c  e.  A
)
122 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  e ) )
123115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  ( F `  e )  =  ( F `  f ) )
124122, 123eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  f ) )
125 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  c  e.  a )
126 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `
 g )  =  ( F `  f
) )  ->  -.  g [_ ( F `  f )  /  z ]_ S e ) )
127 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  =  c  ->  (
g  e.  A  <->  c  e.  A ) )
128 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g  =  c  ->  ( F `  g )  =  ( F `  c ) )
129128eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  =  c  ->  (
( F `  g
)  =  ( F `
 f )  <->  ( F `  c )  =  ( F `  f ) ) )
130127, 129anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  c  ->  (
( g  e.  A  /\  ( F `  g
)  =  ( F `
 f ) )  <-> 
( c  e.  A  /\  ( F `  c
)  =  ( F `
 f ) ) ) )
131 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  =  c  ->  (
g [_ ( F `  f )  /  z ]_ S e  <->  c [_ ( F `  f )  /  z ]_ S
e ) )
132131notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  c  ->  ( -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e  <->  -.  c [_ ( F `  f
)  /  z ]_ S e ) )
133130, 132imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  c  ->  (
( ( g  e.  A  /\  ( F `
 g )  =  ( F `  f
) )  ->  -.  g [_ ( F `  f )  /  z ]_ S e )  <->  ( (
c  e.  A  /\  ( F `  c )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  c [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) ) )
134133rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( c  e.  a  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g
)  =  ( F `
 f ) )  ->  -.  g [_ ( F `  f )  /  z ]_ S
e ) )  -> 
( ( c  e.  A  /\  ( F `
 c )  =  ( F `  f
) )  ->  -.  c [_ ( F `  f )  /  z ]_ S e ) )
135125, 126, 134syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  ( ( c  e.  A  /\  ( F `  c )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  c [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )
136121, 124, 135mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  -.  c [_ ( F `  f )  /  z ]_ S
e )
137122, 123eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  ( F `  f )  =  ( F `  c ) )
138137csbeq1d 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  [_ ( F `  f )  /  z ]_ S  =  [_ ( F `  c )  /  z ]_ S
)
139138breqd 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  ( c [_ ( F `  f )  /  z ]_ S
e  <->  c [_ ( F `  c )  /  z ]_ S
e ) )
140136, 139mtbid 291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  ( c  e.  a  /\  ( F `  c )  =  ( F `  e ) ) )  ->  -.  c [_ ( F `  c )  /  z ]_ S
e )
141140expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  c  e.  a )  ->  (
( F `  c
)  =  ( F `
 e )  ->  -.  c [_ ( F `
 c )  / 
z ]_ S e ) )
142 imnan 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  c
)  =  ( F `
 e )  ->  -.  c [_ ( F `
 c )  / 
z ]_ S e )  <->  -.  ( ( F `  c )  =  ( F `  e )  /\  c [_ ( F `  c )  /  z ]_ S
e ) )
143141, 142sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  c  e.  a )  ->  -.  ( ( F `  c )  =  ( F `  e )  /\  c [_ ( F `  c )  /  z ]_ S
e ) )
144 ioran 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( F `  c ) R ( F `  e )  \/  ( ( F `
 c )  =  ( F `  e
)  /\  c [_ ( F `  c )  /  z ]_ S
e ) )  <->  ( -.  ( F `  c ) R ( F `  e )  /\  -.  ( ( F `  c )  =  ( F `  e )  /\  c [_ ( F `  c )  /  z ]_ S
e ) ) )
145118, 143, 144sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  c  e.  a )  ->  -.  ( ( F `  c ) R ( F `  e )  \/  ( ( F `
 c )  =  ( F `  e
)  /\  c [_ ( F `  c )  /  z ]_ S
e ) ) )
14667, 68fnwe2val 27146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c T e  <->  ( ( F `  c ) R ( F `  e )  \/  (
( F `  c
)  =  ( F `
 e )  /\  c [_ ( F `  c )  /  z ]_ S e ) ) )
147145, 146sylnibr 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  /\  c  e.  a )  ->  -.  c T e )
148147ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  ->  A. c  e.  a  -.  c T e )
149 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  e  ->  (
c T b  <->  c T
e ) )
150149notbid 285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  e  ->  ( -.  c T b  <->  -.  c T e ) )
151150ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  e  ->  ( A. c  e.  a  -.  c T b  <->  A. c  e.  a  -.  c T e ) )
152151rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  e.  a  /\  A. c  e.  a  -.  c T e )  ->  E. b  e.  a 
A. c  e.  a  -.  c T b )
153106, 148, 152syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  ( e  e.  A  /\  ( F `
 e )  =  ( F `  f
) ) ) )  /\  A. g  e.  a  ( ( g  e.  A  /\  ( F `  g )  =  ( F `  f ) )  ->  -.  g [_ ( F `
 f )  / 
z ]_ S e ) )  ->  E. b  e.  a  A. c  e.  a  -.  c T b )
154153ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d
) R ( F `
 f ) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  (
e  e.  A  /\  ( F `  e )  =  ( F `  f ) ) ) )  ->  ( A. g  e.  a  (
( g  e.  A  /\  ( F `  g
)  =  ( F `
 f ) )  ->  -.  g [_ ( F `  f )  /  z ]_ S
e )  ->  E. b  e.  a  A. c  e.  a  -.  c T b ) )
155105, 154syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d
) R ( F `
 f ) ) )  /\  ( e  e.  a  /\  (
e  e.  A  /\  ( F `  e )  =  ( F `  f ) ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  -.  g [_ ( F `  f
)  /  z ]_ S e  ->  E. b  e.  a  A. c  e.  a  -.  c T b ) )
156155ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  ( ( e  e.  a  /\  (
e  e.  A  /\  ( F `  e )  =  ( F `  f ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( a  i^i  {
y  e.  A  | 
( F `  y
)  =  ( F `
 f ) } )  -.  g [_ ( F `  f )  /  z ]_ S
e  ->  E. b  e.  a  A. c  e.  a  -.  c T b ) ) )
15795, 156syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  ( e  e.  ( a  i^i  {
y  e.  A  | 
( F `  y
)  =  ( F `
 f ) } )  ->  ( A. g  e.  ( a  i^i  { y  e.  A  |  ( F `  y )  =  ( F `  f ) } )  -.  g [_ ( F `  f
)  /  z ]_ S e  ->  E. b  e.  a  A. c  e.  a  -.  c T b ) ) )
158157rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  ( E. e  e.  ( a  i^i  {
y  e.  A  | 
( F `  y
)  =  ( F `
 f ) } ) A. g  e.  ( a  i^i  {
y  e.  A  | 
( F `  y
)  =  ( F `
 f ) } )  -.  g [_ ( F `  f )  /  z ]_ S
e  ->  E. b  e.  a  A. c  e.  a  -.  c T b ) )
15989, 158mpd 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  a  /\  A. d  e.  a  -.  ( F `  d ) R ( F `  f ) ) )  ->  E. b  e.  a 
A. c  e.  a  -.  c T b )
160159expr 598 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  a )  ->  ( A. d  e.  a  -.  ( F `  d
) R ( F `
 f )  ->  E. b  e.  a  A. c  e.  a  -.  c T b ) )
161160rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  a  A. d  e.  a  -.  ( F `
 d ) R ( F `  f
)  ->  E. b  e.  a  A. c  e.  a  -.  c T b ) )
16263, 161sylbid 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  ( ( F  |`  A ) " a
) A. e  e.  ( ( F  |`  A ) " a
)  -.  e R d  ->  E. b  e.  a  A. c  e.  a  -.  c T b ) )
16327, 162mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. b  e.  a 
A. c  e.  a  -.  c T b )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788   [_csb 3081    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   {copab 4076    Fr wfr 4349    We wwe 4351   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  fnwe2  27150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263
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