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Theorem fnwelem 6230
Description: Lemma for fnwe 6231. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fnwe.1  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
fnwe.2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
fnwe.3  |-  ( ph  ->  R  We  B )
fnwe.4  |-  ( ph  ->  S  We  A )
fnwe.5  |-  ( ph  ->  ( F " w
)  e.  _V )
fnwelem.6  |-  Q  =  { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) ) }
fnwelem.7  |-  G  =  ( z  e.  A  |-> 
<. ( F `  z
) ,  z >.
)
Assertion
Ref Expression
fnwelem  |-  ( ph  ->  T  We  A )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, A   
u, B, v, w, x, y, z    w, G, x, y    ph, w, x, z    u, F, v, w, x, y, z   
w, Q, x, y   
u, R, v, w, x, y    u, S, v, w, x, y   
w, T
Allowed substitution hints:    ph( y, v, u)    Q( z, v, u)    R( z)    S( z)    T( x, y, z, v, u)    G( z, v, u)

Proof of Theorem fnwelem
StepHypRef Expression
1 fnwe.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
2 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  B )
3 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
4 opelxp 4719 . . . . . 6  |-  ( <.
( F `  z
) ,  z >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  B  /\  z  e.  A ) )
52, 3, 4sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  -> 
<. ( F `  z
) ,  z >.  e.  ( B  X.  A
) )
6 fnwelem.7 . . . . 5  |-  G  =  ( z  e.  A  |-> 
<. ( F `  z
) ,  z >.
)
75, 6fmptd 5684 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  G : A --> ( B  X.  A ) )
8 frn 5395 . . . 4  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  ran  G  C_  ( B  X.  A ) )
91, 7, 83syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  ( B  X.  A ) )
10 fnwe.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  We  B )
11 fnwe.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  We  A )
12 fnwelem.6 . . . . 5  |-  Q  =  { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) ) }
1312wexp 6229 . . . 4  |-  ( ( R  We  B  /\  S  We  A )  ->  Q  We  ( B  X.  A ) )
1410, 11, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  We  ( B  X.  A ) )
15 wess 4380 . . 3  |-  ( ran 
G  C_  ( B  X.  A )  ->  ( Q  We  ( B  X.  A )  ->  Q  We  ran  G ) )
169, 14, 15sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  Q  We  ran  G
)
17 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
18 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
1917, 18opeq12d 3804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  <. ( F `  z ) ,  z >.  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
20 opex 4237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  _V
2119, 6, 20fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  ( G `  x )  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
22 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
23 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  z  =  y )
2422, 23opeq12d 3804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  <. ( F `  z ) ,  z >.  =  <. ( F `  y ) ,  y >. )
25 opex 4237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. ( F `  y ) ,  y >.  e.  _V
2624, 6, 25fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  ( G `  y )  =  <. ( F `  y ) ,  y
>. )
2721, 26eqeqan12d 2298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  <->  <. ( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.
) )
28 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
29 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
3028, 29opth 4245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =  y )
)
3130simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.  ->  x  =  y )
3227, 31syl6bi 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y ) )
3332rgen2a 2609 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y )
3433a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y ) )
35 dff13 5783 . . . . . . . 8  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  <->  ( G : A --> ( B  X.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( G `  x
)  =  ( G `
 y )  ->  x  =  y )
) )
367, 34, 35sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  G : A -1-1-> ( B  X.  A ) )
371, 36syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : A -1-1-> ( B  X.  A ) )
38 f1f1orn 5483 . . . . . 6  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  G : A -1-1-onto-> ran  G )
39 f1ocnv 5485 . . . . . 6  |-  ( G : A -1-1-onto-> ran  G  ->  `' G : ran  G -1-1-onto-> A )
4037, 38, 393syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' G : ran  G -1-1-onto-> A
)
41 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }
4241f1oiso2 5849 . . . . . 6  |-  ( `' G : ran  G -1-1-onto-> A  ->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) }  ( ran 
G ,  A ) )
43 fnwe.1 . . . . . . . 8  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
44 frel 5392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  Rel  G )
45 dfrel2 5124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Rel 
G  <->  `' `' G  =  G
)
4644, 45sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  `' `' G  =  G
)
4746fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( `' `' G `  x )  =  ( G `  x ) )
4846fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( `' `' G `  y )  =  ( G `  y ) )
4947, 48breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <->  ( G `  x ) Q ( G `  y ) ) )
507, 49syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <->  ( G `  x ) Q ( G `  y ) ) )
5150adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <-> 
( G `  x
) Q ( G `
 y ) ) )
5221, 26breqan12d 4038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) Q ( G `  y )  <->  <. ( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.
) )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( G `  x
) Q ( G `
 y )  <->  <. ( F `
 x ) ,  x >. Q <. ( F `  y ) ,  y >. )
)
54 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
55 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
5654, 55jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
) )
57 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y
)  e.  B )
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
5957, 58jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A
) )
6056, 59anim12dan 810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A ) ) )
6160biantrurd 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) )  <->  ( (
( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A ) )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) ) )
62 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( u  e.  ( B  X.  A
)  <->  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  ( B  X.  A ) ) )
63 opelxp 4719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A ) )
6462, 63syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( u  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A ) ) )
6564anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  <->  ( (
( F `  x
)  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) ) ) )
6628, 29op1std 6130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( 1st `  u
)  =  ( F `
 x ) )
6766breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 1st `  u ) R ( 1st `  v )  <-> 
( F `  x
) R ( 1st `  v ) ) )
6866eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( F `  x
)  =  ( 1st `  v ) ) )
6928, 29op2ndd 6131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( 2nd `  u
)  =  x )
7069breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v )  <-> 
x S ( 2nd `  v ) ) )
7168, 70anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v
)  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v ) )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) ) )
7267, 71orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( 1st `  u ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v
)  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v ) ) )  <->  ( ( F `  x ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) ) ) )
7365, 72anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  /\  (
( F `  x
) R ( 1st `  v )  \/  (
( F `  x
)  =  ( 1st `  v )  /\  x S ( 2nd `  v
) ) ) ) ) )
74 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( v  e.  ( B  X.  A
)  <->  <. ( F `  y ) ,  y
>.  e.  ( B  X.  A ) ) )
75 opelxp 4719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  y
) ,  y >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 y )  e.  B  /\  y  e.  A ) )
7674, 75syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( v  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 y )  e.  B  /\  y  e.  A ) ) )
7776anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( ( F `  x
)  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  <-> 
( ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
) ) )
78 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
79 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
8078, 79op1std 6130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( 1st `  v
)  =  ( F `
 y ) )
8180breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( F `
 x ) R ( 1st `  v
)  <->  ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
8280eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( F `
 x )  =  ( 1st `  v
)  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
8378, 79op2ndd 6131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( 2nd `  v
)  =  y )
8483breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( x S ( 2nd `  v
)  <->  x S y ) )
8582, 84anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) )  <->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) )
8681, 85orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  x ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) )  <->  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) )
8777, 86anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  /\  (
( F `  x
) R ( 1st `  v )  \/  (
( F `  x
)  =  ( 1st `  v )  /\  x S ( 2nd `  v
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
)  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) ) )
8820, 25, 73, 87, 12brab 4287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
)  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) )
8961, 88syl6rbbr 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( <. ( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( F `  x
) R ( F `
 y )  \/  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) ) )
9051, 53, 893bitrrd 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) )  <->  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) )
9190pm5.32da 622 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
) R ( F `
 y )  \/  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) ) )
9291opabbidv 4082 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) } )
9343, 92syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  T  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) } )
94 isoeq3 5818 . . . . . . 7  |-  ( T  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  ->  ( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A )  <->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  ( ran 
G ,  A ) ) )
9593, 94syl 15 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran 
G ,  A )  <->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) }  ( ran 
G ,  A ) ) )
9642, 95syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' G : ran  G -1-1-onto-> A  ->  `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A
) ) )
971, 40, 96sylc 56 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A ) )
98 isocnv 5827 . . . 4  |-  ( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A )  ->  `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G ) )
9997, 98syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G ) )
100 imacnvcnv 5137 . . . . 5  |-  ( `' `' G " w )  =  ( G "
w )
101 imadmres 5165 . . . . . . 7  |-  ( G
" dom  ( G  |`  w ) )  =  ( G " w
)
102 dmres 4976 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( G  |`  w )  =  ( w  i^i  dom  G )
103102elin2 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom  ( G  |`  w )  <->  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )
104 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  G )
105 f1dm 5441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  dom  G  =  A )
1061, 36, 1053syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  G  =  A )
107106adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  G  =  A )
108104, 107eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  A
)
109108, 21syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
110 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
1111, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
112111adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  F  Fn  A
)
113 dmres 4976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( F  |`  w )  =  ( w  i^i  dom  F )
114 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
115 fndm 5343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
116112, 115syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  F  =  A )
117114, 116syl5sseq 3226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( w  i^i 
dom  F )  C_  A )
118113, 117syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  ( F  |`  w )  C_  A
)
119 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  w
)
120108, 116eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  F )
121113elin2 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  w )  <->  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  F ) )
122119, 120, 121sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  ( F  |`  w ) )
123 fnfvima 5756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  dom  ( F  |`  w
)  C_  A  /\  x  e.  dom  ( F  |`  w ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( F
" dom  ( F  |`  w ) ) )
124112, 118, 122, 123syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " dom  ( F  |`  w ) ) )
125 imadmres 5165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" dom  ( F  |`  w ) )  =  ( F " w
)
126124, 125syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " w ) )
127 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( F
" w )  /\  x  e.  w )  -> 
<. ( F `  x
) ,  x >.  e.  ( ( F "
w )  X.  w
) )
128126, 119, 127syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  ( ( F
" w )  X.  w ) )
129109, 128eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( ( F " w
)  X.  w ) )
130103, 129sylan2b 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( G  |`  w
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( ( F "
w )  X.  w
) )
131130ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) )
132 f1fun 5439 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  Fun  G )
1331, 36, 1323syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  G )
134 resss 4979 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  w )  C_  G
135 dmss 4878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  |`  w )  C_  G  ->  dom  ( G  |`  w )  C_  dom  G )
136134, 135ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( G  |`  w )  C_  dom  G
137 funimass4 5573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  ( G  |`  w ) 
C_  dom  G )  ->  ( ( G " dom  ( G  |`  w
) )  C_  (
( F " w
)  X.  w )  <->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) ) )
138133, 136, 137sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G " dom  ( G  |`  w
) )  C_  (
( F " w
)  X.  w )  <->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) ) )
139131, 138mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G " dom  ( G  |`  w ) )  C_  ( ( F " w )  X.  w ) )
140101, 139syl5eqssr 3223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G " w
)  C_  ( ( F " w )  X.  w ) )
141 fnwe.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " w
)  e.  _V )
142 vex 2791 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
143 xpexg 4800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F " w
)  e.  _V  /\  w  e.  _V )  ->  ( ( F "
w )  X.  w
)  e.  _V )
144141, 142, 143sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F "
w )  X.  w
)  e.  _V )
145 ssexg 4160 . . . . . 6  |-  ( ( ( G " w
)  C_  ( ( F " w )  X.  w )  /\  (
( F " w
)  X.  w )  e.  _V )  -> 
( G " w
)  e.  _V )
146140, 144, 145syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G " w
)  e.  _V )
147100, 146syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' `' G " w )  e.  _V )
148147alrimiv 1617 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w ( `' `' G " w )  e.  _V )
149 isowe2 5847 . . 3  |-  ( ( `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G )  /\  A. w ( `' `' G " w )  e. 
_V )  ->  ( Q  We  ran  G  ->  T  We  A )
)
15099, 148, 149syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  We  ran  G  ->  T  We  A
) )
15116, 150mpd 14 1  |-  ( ph  ->  T  We  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076    e. cmpt 4077    We wwe 4351    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121
This theorem is referenced by:  fnwe  6231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-1st 6122  df-2nd 6123
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