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Theorem fnwelem 6463
Description: Lemma for fnwe 6464. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fnwe.1  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
fnwe.2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
fnwe.3  |-  ( ph  ->  R  We  B )
fnwe.4  |-  ( ph  ->  S  We  A )
fnwe.5  |-  ( ph  ->  ( F " w
)  e.  _V )
fnwelem.6  |-  Q  =  { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) ) }
fnwelem.7  |-  G  =  ( z  e.  A  |-> 
<. ( F `  z
) ,  z >.
)
Assertion
Ref Expression
fnwelem  |-  ( ph  ->  T  We  A )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, A   
u, B, v, w, x, y, z    w, G, x, y    ph, w, x, z    u, F, v, w, x, y, z   
w, Q, x, y   
u, R, v, w, x, y    u, S, v, w, x, y   
w, T
Allowed substitution hints:    ph( y, v, u)    Q( z, v, u)    R( z)    S( z)    T( x, y, z, v, u)    G( z, v, u)

Proof of Theorem fnwelem
StepHypRef Expression
1 fnwe.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
2 ffvelrn 5870 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  B )
3 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
4 opelxp 4910 . . . . . 6  |-  ( <.
( F `  z
) ,  z >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  B  /\  z  e.  A ) )
52, 3, 4sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  -> 
<. ( F `  z
) ,  z >.  e.  ( B  X.  A
) )
6 fnwelem.7 . . . . 5  |-  G  =  ( z  e.  A  |-> 
<. ( F `  z
) ,  z >.
)
75, 6fmptd 5895 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  G : A --> ( B  X.  A ) )
8 frn 5599 . . . 4  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  ran  G  C_  ( B  X.  A ) )
91, 7, 83syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  ( B  X.  A ) )
10 fnwe.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  We  B )
11 fnwe.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  We  A )
12 fnwelem.6 . . . . 5  |-  Q  =  { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) ) }
1312wexp 6462 . . . 4  |-  ( ( R  We  B  /\  S  We  A )  ->  Q  We  ( B  X.  A ) )
1410, 11, 13syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  We  ( B  X.  A ) )
15 wess 4571 . . 3  |-  ( ran 
G  C_  ( B  X.  A )  ->  ( Q  We  ( B  X.  A )  ->  Q  We  ran  G ) )
169, 14, 15sylc 59 . 2  |-  ( ph  ->  Q  We  ran  G
)
17 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
18 id 21 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
1917, 18opeq12d 3994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  <. ( F `  z ) ,  z >.  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
20 opex 4429 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  _V
2119, 6, 20fvmpt 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( G `  x )  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
22 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
23 id 21 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  z  =  y )
2422, 23opeq12d 3994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  <. ( F `  z ) ,  z >.  =  <. ( F `  y ) ,  y >. )
25 opex 4429 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. ( F `  y ) ,  y >.  e.  _V
2624, 6, 25fvmpt 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( G `  y )  =  <. ( F `  y ) ,  y
>. )
2721, 26eqeqan12d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  <->  <. ( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.
) )
28 fvex 5744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
29 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3028, 29opth 4437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =  y )
)
3130simprbi 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.  ->  x  =  y )
3227, 31syl6bi 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y ) )
3332rgen2a 2774 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y )
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y ) )
35 dff13 6006 . . . . . . 7  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  <->  ( G : A --> ( B  X.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( G `  x
)  =  ( G `
 y )  ->  x  =  y )
) )
367, 34, 35sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  G : A -1-1-> ( B  X.  A ) )
37 f1f1orn 5687 . . . . . 6  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  G : A -1-1-onto-> ran  G )
38 f1ocnv 5689 . . . . . 6  |-  ( G : A -1-1-onto-> ran  G  ->  `' G : ran  G -1-1-onto-> A )
391, 36, 37, 384syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' G : ran  G -1-1-onto-> A
)
40 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }
4140f1oiso2 6074 . . . . . 6  |-  ( `' G : ran  G -1-1-onto-> A  ->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) }  ( ran 
G ,  A ) )
42 fnwe.1 . . . . . . . 8  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
43 frel 5596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  Rel  G )
44 dfrel2 5323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Rel 
G  <->  `' `' G  =  G
)
4543, 44sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  `' `' G  =  G
)
4645fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( `' `' G `  x )  =  ( G `  x ) )
4745fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( `' `' G `  y )  =  ( G `  y ) )
4846, 47breq12d 4227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <->  ( G `  x ) Q ( G `  y ) ) )
497, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <->  ( G `  x ) Q ( G `  y ) ) )
5049adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <-> 
( G `  x
) Q ( G `
 y ) ) )
5121, 26breqan12d 4229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) Q ( G `  y )  <->  <. ( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.
) )
5251adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( G `  x
) Q ( G `
 y )  <->  <. ( F `
 x ) ,  x >. Q <. ( F `  y ) ,  y >. )
)
53 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
54 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
5553, 54jca 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
) )
56 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y
)  e.  B )
57 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
5856, 57jca 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A
) )
5955, 58anim12dan 812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A ) ) )
6059biantrurd 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) )  <->  ( (
( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A ) )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) ) )
61 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( u  e.  ( B  X.  A
)  <->  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  ( B  X.  A ) ) )
62 opelxp 4910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A ) )
6361, 62syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( u  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A ) ) )
6463anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  <->  ( (
( F `  x
)  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) ) ) )
6528, 29op1std 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( 1st `  u
)  =  ( F `
 x ) )
6665breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 1st `  u ) R ( 1st `  v )  <-> 
( F `  x
) R ( 1st `  v ) ) )
6765eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( F `  x
)  =  ( 1st `  v ) ) )
6828, 29op2ndd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( 2nd `  u
)  =  x )
6968breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v )  <-> 
x S ( 2nd `  v ) ) )
7067, 69anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v
)  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v ) )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) ) )
7166, 70orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( 1st `  u ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v
)  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v ) ) )  <->  ( ( F `  x ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) ) ) )
7264, 71anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  /\  (
( F `  x
) R ( 1st `  v )  \/  (
( F `  x
)  =  ( 1st `  v )  /\  x S ( 2nd `  v
) ) ) ) ) )
73 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( v  e.  ( B  X.  A
)  <->  <. ( F `  y ) ,  y
>.  e.  ( B  X.  A ) ) )
74 opelxp 4910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  y
) ,  y >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 y )  e.  B  /\  y  e.  A ) )
7573, 74syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( v  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 y )  e.  B  /\  y  e.  A ) ) )
7675anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( ( F `  x
)  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  <-> 
( ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
) ) )
77 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
78 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
7977, 78op1std 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( 1st `  v
)  =  ( F `
 y ) )
8079breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( F `
 x ) R ( 1st `  v
)  <->  ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
8179eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( F `
 x )  =  ( 1st `  v
)  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
8277, 78op2ndd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( 2nd `  v
)  =  y )
8382breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( x S ( 2nd `  v
)  <->  x S y ) )
8481, 83anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) )  <->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) )
8580, 84orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  x ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) )  <->  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) )
8676, 85anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  /\  (
( F `  x
) R ( 1st `  v )  \/  (
( F `  x
)  =  ( 1st `  v )  /\  x S ( 2nd `  v
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
)  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) ) )
8720, 25, 72, 86, 12brab 4479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
)  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) )
8860, 87syl6rbbr 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( <. ( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( F `  x
) R ( F `
 y )  \/  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) ) )
8950, 52, 883bitrrd 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) )  <->  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) )
9089pm5.32da 624 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
) R ( F `
 y )  \/  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) ) )
9190opabbidv 4273 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) } )
9242, 91syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  T  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) } )
93 isoeq3 6043 . . . . . . 7  |-  ( T  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  ->  ( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A )  <->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  ( ran 
G ,  A ) ) )
9492, 93syl 16 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran 
G ,  A )  <->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) }  ( ran 
G ,  A ) ) )
9541, 94syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' G : ran  G -1-1-onto-> A  ->  `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A
) ) )
961, 39, 95sylc 59 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A ) )
97 isocnv 6052 . . . 4  |-  ( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A )  ->  `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G ) )
9896, 97syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G ) )
99 imacnvcnv 5336 . . . . 5  |-  ( `' `' G " w )  =  ( G "
w )
100 fnwe.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " w
)  e.  _V )
101 vex 2961 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
102 xpexg 4991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F " w
)  e.  _V  /\  w  e.  _V )  ->  ( ( F "
w )  X.  w
)  e.  _V )
103100, 101, 102sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F "
w )  X.  w
)  e.  _V )
104 imadmres 5364 . . . . . . 7  |-  ( G
" dom  ( G  |`  w ) )  =  ( G " w
)
105 dmres 5169 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( G  |`  w )  =  ( w  i^i  dom  G )
106105elin2 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom  ( G  |`  w )  <->  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )
107 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  G )
108 f1dm 5645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  dom  G  =  A )
1091, 36, 1083syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  G  =  A )
110109adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  G  =  A )
111107, 110eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  A
)
112111, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
113 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
1141, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
115114adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  F  Fn  A
)
116 dmres 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( F  |`  w )  =  ( w  i^i  dom  F )
117 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
118 fndm 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
119115, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  F  =  A )
120117, 119syl5sseq 3398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( w  i^i 
dom  F )  C_  A )
121116, 120syl5eqss 3394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  ( F  |`  w )  C_  A
)
122 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  w
)
123111, 119eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  F )
124116elin2 3533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  w )  <->  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  F ) )
125122, 123, 124sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  ( F  |`  w ) )
126 fnfvima 5978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  dom  ( F  |`  w
)  C_  A  /\  x  e.  dom  ( F  |`  w ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( F
" dom  ( F  |`  w ) ) )
127115, 121, 125, 126syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " dom  ( F  |`  w ) ) )
128 imadmres 5364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" dom  ( F  |`  w ) )  =  ( F " w
)
129127, 128syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " w ) )
130 opelxpi 4912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( F
" w )  /\  x  e.  w )  -> 
<. ( F `  x
) ,  x >.  e.  ( ( F "
w )  X.  w
) )
131129, 122, 130syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  ( ( F
" w )  X.  w ) )
132112, 131eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( ( F " w
)  X.  w ) )
133106, 132sylan2b 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( G  |`  w
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( ( F "
w )  X.  w
) )
134133ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) )
135 f1fun 5643 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  Fun  G )
1361, 36, 1353syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  G )
137 resss 5172 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  w )  C_  G
138 dmss 5071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  |`  w )  C_  G  ->  dom  ( G  |`  w )  C_  dom  G )
139137, 138ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( G  |`  w )  C_  dom  G
140 funimass4 5779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  ( G  |`  w ) 
C_  dom  G )  ->  ( ( G " dom  ( G  |`  w
) )  C_  (
( F " w
)  X.  w )  <->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) ) )
141136, 139, 140sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G " dom  ( G  |`  w
) )  C_  (
( F " w
)  X.  w )  <->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) ) )
142134, 141mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G " dom  ( G  |`  w ) )  C_  ( ( F " w )  X.  w ) )
143104, 142syl5eqssr 3395 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G " w
)  C_  ( ( F " w )  X.  w ) )
144103, 143ssexd 4352 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G " w
)  e.  _V )
14599, 144syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' `' G " w )  e.  _V )
146145alrimiv 1642 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w ( `' `' G " w )  e.  _V )
147 isowe2 6072 . . 3  |-  ( ( `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G )  /\  A. w ( `' `' G " w )  e. 
_V )  ->  ( Q  We  ran  G  ->  T  We  A )
)
14898, 146, 147syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  We  ran  G  ->  T  We  A
) )
14916, 148mpd 15 1  |-  ( ph  ->  T  We  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   <.cop 3819   class class class wbr 4214   {copab 4267    e. cmpt 4268    We wwe 4542    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882   "cima 4883   Rel wrel 4885   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456    Isom wiso 5457   1stc1st 6349   2ndc2nd 6350
This theorem is referenced by:  fnwe  6464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-1st 6351  df-2nd 6352
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