MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fo1st Unicode version

Theorem fo1st 6139
Description: The  1st function maps the universe onto the universe. (Contributed by NM, 14-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
fo1st  |-  1st : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fo1st
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4216 . . . . 5  |-  { x }  e.  _V
21dmex 4941 . . . 4  |-  dom  {
x }  e.  _V
32uniex 4516 . . 3  |-  U. dom  { x }  e.  _V
4 df-1st 6122 . . 3  |-  1st  =  ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )
53, 4fnmpti 5372 . 2  |-  1st  Fn  _V
64rnmpt 4925 . . 3  |-  ran  1st  =  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. dom  { x } }
7 vex 2791 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
8 opex 4237 . . . . . 6  |-  <. y ,  y >.  e.  _V
97, 7op1sta 5154 . . . . . . 7  |-  U. dom  {
<. y ,  y >. }  =  y
109eqcomi 2287 . . . . . 6  |-  y  = 
U. dom  { <. y ,  y >. }
11 sneq 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. y ,  y
>.  ->  { x }  =  { <. y ,  y
>. } )
1211dmeqd 4881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. y ,  y
>.  ->  dom  { x }  =  dom  { <. y ,  y >. } )
1312unieqd 3838 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. y ,  y
>.  ->  U. dom  { x }  =  U. dom  { <. y ,  y >. } )
1413eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. y ,  y
>.  ->  ( y  = 
U. dom  { x } 
<->  y  =  U. dom  {
<. y ,  y >. } ) )
1514rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( (
<. y ,  y >.  e.  _V  /\  y  = 
U. dom  { <. y ,  y >. } )  ->  E. x  e.  _V  y  =  U. dom  {
x } )
168, 10, 15mp2an 653 . . . . 5  |-  E. x  e.  _V  y  =  U. dom  { x }
177, 162th 230 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  <->  E. x  e.  _V  y  =  U. dom  { x } )
1817abbi2i 2394 . . 3  |-  _V  =  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. dom  { x } }
196, 18eqtr4i 2306 . 2  |-  ran  1st  =  _V
20 df-fo 5261 . 2  |-  ( 1st
: _V -onto-> _V  <->  ( 1st  Fn 
_V  /\  ran  1st  =  _V ) )
215, 19, 20mpbir2an 886 1  |-  1st : _V -onto-> _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253   1stc1st 6120
This theorem is referenced by:  1stcof  6147  df1st2  6205  1stconst  6207  fsplit  6223  algrflem  6224  fpwwe  8268  axpre-sup  8791  homadm  13872  homacd  13873  dmaf  13881  cdaf  13882  1stf1  13966  1stf2  13967  1stfcl  13971  upxp  17317  uptx  17319  cnmpt1st  17362  bcthlem4  18749  uniiccdif  18933  vafval  21159  smfval  21161  0vfval  21162  vsfval  21191  xppreima  23211  xppreima2  23212  cnre2csqima  23295  br1steq  24130  prj1b  25079  imfstnrelc  25081  domval  25723  codval  25724  prismorcset2  25918  domcatfun  25925  codcatfun  25934  domidmor  25948  codidmor  25950  cmp2morpdom  25964  cmp2morpcod  25965  morexcmp  25967
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fo 5261  df-1st 6122
  Copyright terms: Public domain W3C validator