Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fo2ndres Structured version   Unicode version

Theorem fo2ndres 6363
 Description: Onto mapping of a restriction of the (second member of an ordered pair) function. (Contributed by NM, 14-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
fo2ndres

Proof of Theorem fo2ndres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3629 . . . . . . 7
2 opelxp 4900 . . . . . . . . . 10
3 fvres 5737 . . . . . . . . . . . 12
4 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13
5 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5op2nd 6348 . . . . . . . . . . . 12
73, 6syl6req 2484 . . . . . . . . . . 11
8 f2ndres 6361 . . . . . . . . . . . . 13
9 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . 13
108, 9ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
11 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11mpan 652 . . . . . . . . . . 11
137, 12eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10
142, 13sylbir 205 . . . . . . . . 9
1514ex 424 . . . . . . . 8
1615exlimiv 1644 . . . . . . 7
171, 16sylbi 188 . . . . . 6
1817ssrdv 3346 . . . . 5
19 frn 5589 . . . . . 6
208, 19ax-mp 8 . . . . 5
2118, 20jctil 524 . . . 4
22 eqss 3355 . . . 4
2321, 22sylibr 204 . . 3
2423, 8jctil 524 . 2
25 dffo2 5649 . 2
2624, 25sylibr 204 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   wss 3312  c0 3620  cop 3809   cxp 4868   crn 4871   cres 4872   wfn 5441  wf 5442  wfo 5444  cfv 5446  c2nd 6340 This theorem is referenced by:  2ndconst  6428  txcmpb  17668 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fo 5452  df-fv 5454  df-2nd 6342
 Copyright terms: Public domain W3C validator