Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fobigcup Unicode version

Theorem fobigcup 24440
Description:  Bigcup maps the universe onto itself. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
fobigcup  |-  Bigcup : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fobigcup
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 4517 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  U. x  e.  _V )
21rgen 2608 . . 3  |-  A. x  e.  _V  U. x  e. 
_V
3 dfbigcup2 24439 . . . 4  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )
43mptfng 5369 . . 3  |-  ( A. x  e.  _V  U. x  e.  _V  <->  Bigcup  Fn  _V )
52, 4mpbi 199 . 2  |-  Bigcup  Fn  _V
63rnmpt 4925 . . 3  |-  ran  Bigcup  =  {
y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
7 vex 2791 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
8 snex 4216 . . . . . 6  |-  { y }  e.  _V
97unisn 3843 . . . . . . 7  |-  U. {
y }  =  y
109eqcomi 2287 . . . . . 6  |-  y  = 
U. { y }
11 unieq 3836 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  U. x  =  U. { y } )
1211eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  ( y  = 
U. x  <->  y  =  U. { y } ) )
1312rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  _V  /\  y  =  U. { y } )  ->  E. x  e.  _V  y  =  U. x
)
148, 10, 13mp2an 653 . . . . 5  |-  E. x  e.  _V  y  =  U. x
157, 142th 230 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  <->  E. x  e.  _V  y  =  U. x )
1615abbi2i 2394 . . 3  |-  _V  =  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
176, 16eqtr4i 2306 . 2  |-  ran  Bigcup  =  _V
18 df-fo 5261 . 2  |-  ( Bigcup : _V -onto-> _V  <->  ( Bigcup  Fn  _V  /\ 
ran  Bigcup  =  _V )
)
195, 17, 18mpbir2an 886 1  |-  Bigcup : _V -onto-> _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   {csn 3640   U.cuni 3827   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253   Bigcupcbigcup 24377
This theorem is referenced by:  fnbigcup  24441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-eprel 4305  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-symdif 24362  df-txp 24395  df-bigcup 24399
  Copyright terms: Public domain W3C validator