Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fobigcup Structured version   Unicode version

Theorem fobigcup 25745
Description:  Bigcup maps the universe onto itself. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
fobigcup  |-  Bigcup : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fobigcup
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 4706 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  U. x  e.  _V )
21rgen 2771 . . 3  |-  A. x  e.  _V  U. x  e. 
_V
3 dfbigcup2 25744 . . . 4  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )
43mptfng 5570 . . 3  |-  ( A. x  e.  _V  U. x  e.  _V  <->  Bigcup  Fn  _V )
52, 4mpbi 200 . 2  |-  Bigcup  Fn  _V
63rnmpt 5116 . . 3  |-  ran  Bigcup  =  {
y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
7 vex 2959 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
8 snex 4405 . . . . . 6  |-  { y }  e.  _V
97unisn 4031 . . . . . . 7  |-  U. {
y }  =  y
109eqcomi 2440 . . . . . 6  |-  y  = 
U. { y }
11 unieq 4024 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  U. x  =  U. { y } )
1211eqeq2d 2447 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  ( y  = 
U. x  <->  y  =  U. { y } ) )
1312rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  _V  /\  y  =  U. { y } )  ->  E. x  e.  _V  y  =  U. x
)
148, 10, 13mp2an 654 . . . . 5  |-  E. x  e.  _V  y  =  U. x
157, 142th 231 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  <->  E. x  e.  _V  y  =  U. x )
1615abbi2i 2547 . . 3  |-  _V  =  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
176, 16eqtr4i 2459 . 2  |-  ran  Bigcup  =  _V
18 df-fo 5460 . 2  |-  ( Bigcup : _V -onto-> _V  <->  ( Bigcup  Fn  _V  /\ 
ran  Bigcup  =  _V )
)
195, 17, 18mpbir2an 887 1  |-  Bigcup : _V -onto-> _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956   {csn 3814   U.cuni 4015   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -onto->wfo 5452   Bigcupcbigcup 25678
This theorem is referenced by:  fnbigcup  25746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-eprel 4494  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fo 5460  df-fv 5462  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-symdif 25663  df-txp 25698  df-bigcup 25702
  Copyright terms: Public domain W3C validator