Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fobigcup Unicode version

Theorem fobigcup 24511
Description:  Bigcup maps the universe onto itself. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
fobigcup  |-  Bigcup : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fobigcup
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 4533 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  U. x  e.  _V )
21rgen 2621 . . 3  |-  A. x  e.  _V  U. x  e. 
_V
3 dfbigcup2 24510 . . . 4  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )
43mptfng 5385 . . 3  |-  ( A. x  e.  _V  U. x  e.  _V  <->  Bigcup  Fn  _V )
52, 4mpbi 199 . 2  |-  Bigcup  Fn  _V
63rnmpt 4941 . . 3  |-  ran  Bigcup  =  {
y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
7 vex 2804 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
8 snex 4232 . . . . . 6  |-  { y }  e.  _V
97unisn 3859 . . . . . . 7  |-  U. {
y }  =  y
109eqcomi 2300 . . . . . 6  |-  y  = 
U. { y }
11 unieq 3852 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  U. x  =  U. { y } )
1211eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  ( y  = 
U. x  <->  y  =  U. { y } ) )
1312rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  _V  /\  y  =  U. { y } )  ->  E. x  e.  _V  y  =  U. x
)
148, 10, 13mp2an 653 . . . . 5  |-  E. x  e.  _V  y  =  U. x
157, 142th 230 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  <->  E. x  e.  _V  y  =  U. x )
1615abbi2i 2407 . . 3  |-  _V  =  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
176, 16eqtr4i 2319 . 2  |-  ran  Bigcup  =  _V
18 df-fo 5277 . 2  |-  ( Bigcup : _V -onto-> _V  <->  ( Bigcup  Fn  _V  /\ 
ran  Bigcup  =  _V )
)
195, 17, 18mpbir2an 886 1  |-  Bigcup : _V -onto-> _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   {csn 3653   U.cuni 3843   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -onto->wfo 5269   Bigcupcbigcup 24448
This theorem is referenced by:  fnbigcup  24512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-eprel 4321  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-symdif 24433  df-txp 24466  df-bigcup 24470
  Copyright terms: Public domain W3C validator