MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodom Unicode version

Theorem fodom 8149
Description: An onto function implies dominance of domain over range. Lemma 10.20 of [Kunen] p. 30. This theorem uses the Axiom of Choice ac7g 8101. AC is not needed for finite sets - see fodomfi 7135. See also fodomnum 7684. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
fodom.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fodom  |-  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A )

Proof of Theorem fodom
StepHypRef Expression
1 fodom.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 numth3 8097 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  dom  card )
3 fodomnum 7684 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
41, 2, 3mp2b 9 1  |-  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -onto->wfo 5253    ~<_ cdom 6861   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  fodomg  8150  brdom3  8153  brdom5  8154  brdom4  8155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-card 7572  df-acn 7575  df-ac 7743
  Copyright terms: Public domain W3C validator