Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomacn Structured version   Unicode version

Theorem fodomacn 7939
 Description: A version of fodom 8404 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8341. If has choice sequences of length , then any surjection from to can be inverted to an injection the other way. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomacn AC

Proof of Theorem fodomacn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foelrn 5890 . . . . 5
21ralrimiva 2791 . . . 4
3 fveq2 5730 . . . . . 6
43eqeq2d 2449 . . . . 5
54acni3 7930 . . . 4 AC
62, 5sylan2 462 . . 3 AC
7 simpll 732 . . . . 5 AC AC
8 acnrcl 7925 . . . . 5 AC
97, 8syl 16 . . . 4 AC
10 simprl 734 . . . . 5 AC
11 fveq2 5730 . . . . . . 7
12 simprr 735 . . . . . . . 8 AC
13 id 21 . . . . . . . . . . . 12
14 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13
1514fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12
1613, 15eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11
1716rspccva 3053 . . . . . . . . . 10
18 id 21 . . . . . . . . . . . 12
19 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13
2019fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11
2221rspccva 3053 . . . . . . . . . 10
2317, 22eqeqan12d 2453 . . . . . . . . 9
2423anandis 805 . . . . . . . 8
2512, 24sylan 459 . . . . . . 7 AC
2611, 25syl5ibr 214 . . . . . 6 AC
2726ralrimivva 2800 . . . . 5 AC
28 dff13 6006 . . . . 5
2910, 27, 28sylanbrc 647 . . . 4 AC
30 f1dom2g 7127 . . . 4 AC
319, 7, 29, 30syl3anc 1185 . . 3 AC
326, 31exlimddv 1649 . 2 AC
3332ex 425 1 AC
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   class class class wbr 4214  wf 5452  wf1 5453  wfo 5454  cfv 5456   cdom 7109  AC wacn 7827 This theorem is referenced by:  fodomnum  7940  iundomg  8418 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-dom 7113  df-acn 7831
 Copyright terms: Public domain W3C validator