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Theorem fodomacn 7939
Description: A version of fodom 8404 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8341. If  A has choice sequences of length  B, then any surjection from  A to  B can be inverted to an injection the other way. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomacn  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem fodomacn
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foelrn 5890 . . . . 5  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  x  e.  B
)  ->  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
21ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
3 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( f `  x
) ) )
43eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( F `  ( f `
 x ) ) ) )
54acni3 7930 . . . 4  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )  ->  E. f ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )
62, 5sylan2 462 . . 3  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  ->  E. f ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )
7 simpll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A  e. AC  B )
8 acnrcl 7925 . . . . 5  |-  ( A  e. AC  B  ->  B  e. 
_V )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  B  e.  _V )
10 simprl 734 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  f : B --> A )
11 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  ( F `  ( f `  y ) )  =  ( F `  (
f `  z )
) )
12 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) )
13 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
14 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
1514fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  ( f `  x ) )  =  ( F `  (
f `  y )
) )
1613, 15eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( F `
 ( f `  x ) )  <->  y  =  ( F `  ( f `
 y ) ) ) )
1716rspccva 3053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( F `  ( f `  y
) ) )
18 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
19 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
f `  x )  =  ( f `  z ) )
2019fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  ( f `  x ) )  =  ( F `  (
f `  z )
) )
2118, 20eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( F `
 ( f `  x ) )  <->  z  =  ( F `  ( f `
 z ) ) ) )
2221rspccva 3053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  z  e.  B )  ->  z  =  ( F `  ( f `  z
) ) )
2317, 22eqeqan12d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `
 x ) )  /\  y  e.  B
)  /\  ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( F `  (
f `  y )
)  =  ( F `
 ( f `  z ) ) ) )
2423anandis 805 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  =  z  <->  ( F `  ( f `  y
) )  =  ( F `  ( f `
 z ) ) ) )
2512, 24sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  (
f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( F `  (
f `  y )
)  =  ( F `
 ( f `  z ) ) ) )
2611, 25syl5ibr 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  (
f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  y  =  z ) )
2726ralrimivva 2800 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  y  =  z ) )
28 dff13 6006 . . . . 5  |-  ( f : B -1-1-> A  <->  ( f : B --> A  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( f `  y
)  =  ( f `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
2910, 27, 28sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  f : B -1-1-> A )
30 f1dom2g 7127 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e. AC  B  /\  f : B -1-1-> A )  ->  B  ~<_  A )
319, 7, 29, 30syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  B  ~<_  A )
326, 31exlimddv 1649 . 2  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
3332ex 425 1  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   class class class wbr 4214   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -onto->wfo 5454   ` cfv 5456    ~<_ cdom 7109  AC wacn 7827
This theorem is referenced by:  fodomnum  7940  iundomg  8418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-dom 7113  df-acn 7831
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