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Theorem fodomacn 7699
Description: A version of fodom 8165 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8101. If  A has choice sequences of length  B, then any surjection from  A to  B can be inverted to an injection the other way. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomacn  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem fodomacn
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foelrn 5695 . . . . 5  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  x  e.  B
)  ->  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
21ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
3 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( f `  x
) ) )
43eqeq2d 2307 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( F `  ( f `
 x ) ) ) )
54acni3 7690 . . . 4  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )  ->  E. f ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )
62, 5sylan2 460 . . 3  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  ->  E. f ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )
7 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A  e. AC  B )
8 acnrcl 7685 . . . . . . 7  |-  ( A  e. AC  B  ->  B  e. 
_V )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  B  e.  _V )
10 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  f : B --> A )
11 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  ( F `  ( f `  y ) )  =  ( F `  (
f `  z )
) )
12 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) )
13 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
14 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
1514fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  ( f `  x ) )  =  ( F `  (
f `  y )
) )
1613, 15eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( F `
 ( f `  x ) )  <->  y  =  ( F `  ( f `
 y ) ) ) )
1716rspccva 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( F `  ( f `  y
) ) )
18 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
19 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
f `  x )  =  ( f `  z ) )
2019fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  ( f `  x ) )  =  ( F `  (
f `  z )
) )
2118, 20eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( F `
 ( f `  x ) )  <->  z  =  ( F `  ( f `
 z ) ) ) )
2221rspccva 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  z  e.  B )  ->  z  =  ( F `  ( f `  z
) ) )
2317, 22eqeqan12d 2311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `
 x ) )  /\  y  e.  B
)  /\  ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( F `  (
f `  y )
)  =  ( F `
 ( f `  z ) ) ) )
2423anandis 803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  =  z  <->  ( F `  ( f `  y
) )  =  ( F `  ( f `
 z ) ) ) )
2512, 24sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  (
f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( F `  (
f `  y )
)  =  ( F `
 ( f `  z ) ) ) )
2611, 25syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  (
f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  y  =  z ) )
2726ralrimivva 2648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  y  =  z ) )
28 dff13 5799 . . . . . . 7  |-  ( f : B -1-1-> A  <->  ( f : B --> A  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( f `  y
)  =  ( f `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
2910, 27, 28sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  f : B -1-1-> A )
30 f1dom2g 6895 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e. AC  B  /\  f : B -1-1-> A )  ->  B  ~<_  A )
319, 7, 29, 30syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  B  ~<_  A )
3231ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  ->  ( ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) )  ->  B  ~<_  A ) )
3332exlimdv 1626 . . 3  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  ->  ( E. f
( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `
 x ) ) )  ->  B  ~<_  A ) )
346, 33mpd 14 . 2  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
3534ex 423 1  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271    ~<_ cdom 6877  AC wacn 7587
This theorem is referenced by:  fodomnum  7700  iundomg  8179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-dom 6881  df-acn 7591
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