Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomacn Unicode version

Theorem fodomacn 7699
 Description: A version of fodom 8165 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8101. If has choice sequences of length , then any surjection from to can be inverted to an injection the other way. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomacn AC

Proof of Theorem fodomacn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foelrn 5695 . . . . 5
21ralrimiva 2639 . . . 4
3 fveq2 5541 . . . . . 6
43eqeq2d 2307 . . . . 5
54acni3 7690 . . . 4 AC
62, 5sylan2 460 . . 3 AC
7 simpll 730 . . . . . . 7 AC AC
8 acnrcl 7685 . . . . . . 7 AC
97, 8syl 15 . . . . . 6 AC
10 simprl 732 . . . . . . 7 AC
11 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
12 simprr 733 . . . . . . . . . 10 AC
13 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14
14 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14
1613, 15eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13
1716rspccva 2896 . . . . . . . . . . . 12
18 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14
19 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14
2118, 20eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13
2221rspccva 2896 . . . . . . . . . . . 12
2317, 22eqeqan12d 2311 . . . . . . . . . . 11
2423anandis 803 . . . . . . . . . 10
2512, 24sylan 457 . . . . . . . . 9 AC
2611, 25syl5ibr 212 . . . . . . . 8 AC
2726ralrimivva 2648 . . . . . . 7 AC
28 dff13 5799 . . . . . . 7
2910, 27, 28sylanbrc 645 . . . . . 6 AC
30 f1dom2g 6895 . . . . . 6 AC
319, 7, 29, 30syl3anc 1182 . . . . 5 AC
3231ex 423 . . . 4 AC
3332exlimdv 1626 . . 3 AC
346, 33mpd 14 . 2 AC
3534ex 423 1 AC
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   class class class wbr 4039  wf 5267  wf1 5268  wfo 5269  cfv 5271   cdom 6877  AC wacn 7587 This theorem is referenced by:  fodomnum  7700  iundomg  8179 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-dom 6881  df-acn 7591
 Copyright terms: Public domain W3C validator