MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomg Unicode version

Theorem fodomg 8330
Description: An onto function implies dominance of domain over range. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
fodomg  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem fodomg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foeq2 5584 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( F : x -onto-> B  <->  F : A -onto-> B ) )
2 breq2 4151 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( B  ~<_  x  <->  B  ~<_  A ) )
31, 2imbi12d 312 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( F : x
-onto-> B  ->  B  ~<_  x )  <-> 
( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) ) )
4 vex 2896 . . 3  |-  x  e. 
_V
54fodom 8329 . 2  |-  ( F : x -onto-> B  ->  B  ~<_  x )
63, 5vtoclg 2948 1  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4147   -onto->wfo 5386    ~<_ cdom 7037
This theorem is referenced by:  fodomb  8331  imadomg  8339  fnrndomg  8340  dmct  23941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-ac2 8270
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-se 4477  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-suc 4522  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-isom 5397  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-er 6835  df-map 6950  df-en 7040  df-dom 7041  df-card 7753  df-acn 7756  df-ac 7924
  Copyright terms: Public domain W3C validator