MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomnum Structured version   Unicode version

Theorem fodomnum 7940
Description: A version of fodom 8404 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8341. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomnum  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem fodomnum
StepHypRef Expression
1 fornex 5972 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
21com12 30 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  dom  card 
->  B  e.  _V ) )
3 numacn 7932 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  e.  dom  card  ->  A  e. AC  B ) )
42, 3syli 36 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  dom  card 
->  A  e. AC  B ) )
54com12 30 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  A  e. AC  B )
)
6 fodomacn 7939 . 2  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
75, 6syli 36 1  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   class class class wbr 4214   dom cdm 4880   -onto->wfo 5454    ~<_ cdom 7109   cardccrd 7824  AC wacn 7827
This theorem is referenced by:  fonum  7941  fodomfi2  7943  infpwfien  7945  inffien  7946  wdomnumr  7947  iunfictbso  7997  infmap2  8100  fictb  8127  cfflb  8141  cfslb2n  8150  fodom  8404  rankcf  8654  tskuni  8660  tskurn  8666  znnen  12814  qnnen  12815  cygctb  15503  1stcrestlem  17517  2ndcctbss  17520  2ndcomap  17523  2ndcsep  17524  tx1stc  17684  tx2ndc  17685  met1stc  18553  met2ndci  18554  re2ndc  18834  uniiccdif  19472  dyadmbl  19494  opnmblALT  19497  mbfimaopnlem  19549  aannenlem3  20249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-card 7828  df-acn 7831
  Copyright terms: Public domain W3C validator