MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomnum Unicode version

Theorem fodomnum 7700
Description: A version of fodom 8165 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8101. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomnum  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem fodomnum
StepHypRef Expression
1 fornex 5766 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
21com12 27 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  dom  card 
->  B  e.  _V ) )
3 numacn 7692 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  e.  dom  card  ->  A  e. AC  B ) )
42, 3syli 33 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  dom  card 
->  A  e. AC  B ) )
54com12 27 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  A  e. AC  B )
)
6 fodomacn 7699 . 2  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
75, 6syli 33 1  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   -onto->wfo 5269    ~<_ cdom 6877   cardccrd 7584  AC wacn 7587
This theorem is referenced by:  fonum  7701  fodomfi2  7703  infpwfien  7705  inffien  7706  wdomnumr  7707  iunfictbso  7757  infmap2  7860  fictb  7887  cfflb  7901  cfslb2n  7910  fodom  8165  rankcf  8415  tskuni  8421  tskurn  8427  znnen  12507  qnnen  12508  cygctb  15194  1stcrestlem  17194  2ndcctbss  17197  2ndcomap  17200  2ndcsep  17201  tx1stc  17360  tx2ndc  17361  met1stc  18083  met2ndci  18084  re2ndc  18323  uniiccdif  18949  dyadmbl  18971  opnmblALT  18974  mbfimaopnlem  19026  aannenlem3  19726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-card 7588  df-acn 7591
  Copyright terms: Public domain W3C validator