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Theorem foeqcnvco 5967
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
foeqcnvco  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )

Proof of Theorem foeqcnvco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fococnv2 5642 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
2 cnveq 4987 . . . . . 6  |-  ( F  =  G  ->  `' F  =  `' G
)
32coeq2d 4976 . . . . 5  |-  ( F  =  G  ->  ( F  o.  `' F
)  =  ( F  o.  `' G ) )
43eqeq1d 2396 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  (
( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )  <->  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) ) )
51, 4syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( F  =  G  ->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )
65adantr 452 . 2  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  =  G  ->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B ) ) )
7 fofn 5596 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F  Fn  A )
87ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F  Fn  A )
9 fofn 5596 . . . . 5  |-  ( G : A -onto-> B  ->  G  Fn  A )
109ad2antlr 708 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  G  Fn  A )
119adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  G  Fn  A )
12 fnopfv 5805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( G `
 x ) >.  e.  G )
1311, 12sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  <. x ,  ( G `  x ) >.  e.  G
)
14 fvex 5683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
15 vex 2903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
1614, 15brcnv 4996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  x ) `' G x  <->  x G
( G `  x
) )
17 df-br 4155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x G ( G `  x )  <->  <. x ,  ( G `  x
) >.  e.  G )
1816, 17bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  x ) `' G x  <->  <. x ,  ( G `  x
) >.  e.  G )
1913, 18sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x ) `' G x )
207adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  F  Fn  A )
21 fnopfv 5805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
2220, 21sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  <. x ,  ( F `  x ) >.  e.  F
)
23 df-br 4155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x F ( F `  x )  <->  <. x ,  ( F `  x
) >.  e.  F )
2422, 23sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x F ( F `  x ) )
25 breq2 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
( G `  x
) `' G y  <-> 
( G `  x
) `' G x ) )
26 breq1 4157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y F ( F `
 x )  <->  x F
( F `  x
) ) )
2725, 26anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) )  <->  ( ( G `  x ) `' G x  /\  x F ( F `  x ) ) ) )
2815, 27spcev 2987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  x
) `' G x  /\  x F ( F `  x ) )  ->  E. y
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) ) )
2919, 24, 28syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  E. y
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) ) )
30 fvex 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3114, 30brco 4984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  x ) ( F  o.  `' G ) ( F `
 x )  <->  E. y
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) ) )
3229, 31sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )
( F  o.  `' G ) ( F `
 x ) )
3332adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
) ( F  o.  `' G ) ( F `
 x ) )
34 breq 4156 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  ->  (
( G `  x
) ( F  o.  `' G ) ( F `
 x )  <->  ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x ) ) )
3534ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) ( F  o.  `' G ) ( F `  x
)  <->  ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x ) ) )
3633, 35mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
) (  _I  |`  B ) ( F `  x
) )
37 fof 5594 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : A -onto-> B  ->  G : A --> B )
3837adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  G : A
--> B )
3938ffvelrnda 5810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  B )
40 fof 5594 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
4140adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  F : A
--> B )
4241ffvelrnda 5810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  B )
43 resieq 5097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  B  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x )  <->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
4439, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
) (  _I  |`  B ) ( F `  x
)  <->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
4544adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x )  <->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
4636, 45mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4746eqcomd 2393 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )
488, 10, 47eqfnfvd 5770 . . 3  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F  =  G )
4948ex 424 . 2  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  ->  F  =  G ) )
506, 49impbid 184 1  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3761   class class class wbr 4154    _I cid 4435   `'ccnv 4818    |` cres 4821    o. ccom 4823    Fn wfn 5390   -->wf 5391   -onto->wfo 5393   ` cfv 5395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fo 5401  df-fv 5403
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