Theorem fooprval 4037

Description: An onto mapping of an operation expressed in terms of operation values.

Assertion

Ref	Expression
fooprval	|- (F:(A X. B)-onto->C <-> (F:(A X. B)-->C /\ A.z e. C E.x e. A E.y e. B z = (xFy)))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   z,C   x,F,y,z

Proof of Theorem fooprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo3 3819	. 2 |- (F:(A X. B)-onto->C <-> (F:(A X. B)-->C /\ A.z e. C E.w e. (A X. B)z = (F` w)))
2		fveq2 3724	. . . . . . 7 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (F` <.x, y>.))
3		df-opr 3965	. . . . . . 7 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
4	2, 3	syl6eqr 1525	. . . . . 6 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (xFy))
5	4	eqeq2d 1486	. . . . 5 |- (w = <.x, y>. -> (z = (F` w) <-> z = (xFy)))
6	5	rexxp 3219	. . . 4 |- (E.w e. (A X. B)z = (F` w) <-> E.x e. A E.y e. B z = (xFy))
7	6	ralbii 1667	. . 3 |- (A.z e. C E.w e. (A X. B)z = (F` w) <-> A.z e. C E.x e. A E.y e. B z = (xFy))
8	7	anbi2i 480	. 2 |- ((F:(A X. B)-->C /\ A.z e. C E.w e. (A X. B)z = (F` w)) <-> (F:(A X. B)-->C /\ A.z e. C E.x e. A E.y e. B z = (xFy)))
9	1, 8	bitr 173	1 |- (F:(A X. B)-onto->C <-> (F:(A X. B)-->C /\ A.z e. C E.x e. A E.y e. B z = (xFy)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956  A.wral 1645  E.wrex 1646  <.cop 2411   X. cxp 3168  -->wf 3178  -onto->wfo 3180  ` cfv 3182  (class class class)co 3963

This theorem is referenced by:  isgrp 8041  isgrpi 8042  isgrp2i 8076

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain