Theorem fopab 3827

Description: Functionality of an ordered-pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fopab2.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = C)}
fopab.2	|- (x e. A -> C e. B)

Assertion

Ref	Expression
fopab	|- F:A-->B

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   y,C

Proof of Theorem fopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fopab.2	. . 3 |- (x e. A -> C e. B)
2	1	rgen 1698	. 2 |- A.x e. A C e. B
3		fopab2.1	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = C)}
4	3	fopab2 3823	. 2 |- (A.x e. A C e. B <-> F:A-->B)
5	2, 4	mpbi 189	1 |- F:A-->B

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {copab 2666  -->wf 3178

This theorem is referenced by:  pw2en 4446  icoshftf1oi 6409  absf 6906  geoser 7234  geolimilem 7235  geolim1i 7238  cvgratlem3ALT 7249  cvgratlem3 7252  cjcncf 7278  efcltlem1 7304  dfef2 7307  erelem1 7319  erelem2 7320  efcj 7336  eftlexOLD 7377  eirrlem5 7393  efsep 7396  effsumle 7397  reeff1 7410  efm1lim 7411  xplm 7975  sqcn 8335  sm1cnilem 8347  sincolem 8665  efghgrpilem 8719  normf 8989  hosubcl 9695  cnlnadjlem6 10005

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain