Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fopwdom Unicode version

Theorem fopwdom 6970
 Description: Covering implies injection on power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fopwdom

Proof of Theorem fopwdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5025 . . . . . 6
2 dfdm4 4872 . . . . . . 7
3 fof 5451 . . . . . . . 8
4 fdm 5393 . . . . . . . 8
53, 4syl 15 . . . . . . 7
62, 5syl5eqr 2329 . . . . . 6
71, 6syl5sseq 3226 . . . . 5
87adantl 452 . . . 4
9 cnvexg 5208 . . . . . 6
109adantr 451 . . . . 5
11 imaexg 5026 . . . . 5
12 elpwg 3632 . . . . 5
1310, 11, 123syl 18 . . . 4
148, 13mpbird 223 . . 3
1514a1d 22 . 2
16 imaeq2 5008 . . . . . . 7
1716adantl 452 . . . . . 6
18 simpllr 735 . . . . . . 7
19 simplrl 736 . . . . . . . 8
20 vex 2791 . . . . . . . . 9
2120elpw 3631 . . . . . . . 8
2219, 21sylib 188 . . . . . . 7
23 foimacnv 5490 . . . . . . 7
2418, 22, 23syl2anc 642 . . . . . 6
25 simplrr 737 . . . . . . . 8
26 vex 2791 . . . . . . . . 9
2726elpw 3631 . . . . . . . 8
2825, 27sylib 188 . . . . . . 7
29 foimacnv 5490 . . . . . . 7
3018, 28, 29syl2anc 642 . . . . . 6
3117, 24, 303eqtr3d 2323 . . . . 5
3231ex 423 . . . 4
33 imaeq2 5008 . . . 4
3432, 33impbid1 194 . . 3
3534ex 423 . 2
36 rnexg 4940 . . . . 5
37 forn 5454 . . . . . 6
3837eleq1d 2349 . . . . 5
3936, 38syl5ibcom 211 . . . 4
4039imp 418 . . 3
41 pwexg 4194 . . 3
4240, 41syl 15 . 2
43 dmfex 5424 . . . 4
443, 43sylan2 460 . . 3
45 pwexg 4194 . . 3
4644, 45syl 15 . 2
4715, 35, 42, 46dom3d 6903 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   wss 3152  cpw 3625   class class class wbr 4023  ccnv 4688   cdm 4689   crn 4690  cima 4692  wf 5251  wfo 5253   cdom 6861 This theorem is referenced by:  pwdom  7013  wdompwdom  7292 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-fv 5263  df-dom 6865
 Copyright terms: Public domain W3C validator