MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fornex Unicode version

Theorem fornex 5750
Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
fornex  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)

Proof of Theorem fornex
StepHypRef Expression
1 fofun 5452 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  Fun  F )
2 funrnex 5747 . . . 4  |-  ( dom 
F  e.  C  -> 
( Fun  F  ->  ran 
F  e.  _V )
)
31, 2syl5com 26 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( dom  F  e.  C  ->  ran  F  e.  _V ) )
4 fof 5451 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
5 fdm 5393 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  dom  F  =  A )
76eleq1d 2349 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( dom  F  e.  C 
<->  A  e.  C ) )
8 forn 5454 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
98eleq1d 2349 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( ran  F  e.  _V 
<->  B  e.  _V )
)
103, 7, 93imtr3d 258 . 2  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  C  ->  B  e.  _V )
)
1110com12 27 1  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   dom cdm 4689   ran crn 4690   Fun wfun 5249   -->wf 5251   -onto->wfo 5253
This theorem is referenced by:  f1dmex  5751  f1oeng  6880  fodomnum  7684  ttukeylem1  8136  fodomb  8151  cnexALT  10350  imasbas  13415  imasds  13416  elqtop  17388  qtoprest  17408  indishmph  17489  imasf1oxmet  17939  ghgrp  21035  noprc  24335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator