MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovcl Unicode version

Theorem fovcl 5949
Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
fovcl.1  |-  F :
( R  X.  S
) --> C
Assertion
Ref Expression
fovcl  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A F B )  e.  C )

Proof of Theorem fovcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fovcl.1 . . 3  |-  F :
( R  X.  S
) --> C
2 ffnov 5948 . . . 4  |-  ( F : ( R  X.  S ) --> C  <->  ( F  Fn  ( R  X.  S
)  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C ) )
32simprbi 450 . . 3  |-  ( F : ( R  X.  S ) --> C  ->  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C )
41, 3ax-mp 8 . 2  |-  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C
5 oveq1 5865 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x F y )  =  ( A F y ) )
65eleq1d 2349 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x F y )  e.  C  <->  ( A F y )  e.  C ) )
7 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A F y )  =  ( A F B ) )
87eleq1d 2349 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( A F y )  e.  C  <->  ( A F B )  e.  C
) )
96, 8rspc2v 2890 . 2  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C  ->  ( A F B )  e.  C ) )
104, 9mpi 16 1  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A F B )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    X. cxp 4687    Fn wfn 5250   -->wf 5251  (class class class)co 5858
This theorem is referenced by:  addclnq  8569  mulclnq  8571  adderpq  8580  mulerpq  8581  distrnq  8585  axaddcl  8773  axmulcl  8775  xaddcl  10564  xmulcl  10593  elfzoelz  10875  addcnlem  18368  sgmcl  20384  issubgoi  20977  ablomul  21022  hvaddcl  21592  hvmulcl  21593  hicl  21659  rmxynorm  27003  rmxyneg  27005  rmxy1  27007  rmxy0  27008  rmxp1  27017  rmyp1  27018  rmxm1  27019  rmym1  27020  rmxluc  27021  rmyluc  27022  rmyluc2  27023  rmxdbl  27024  rmydbl  27025  rmxypos  27034  ltrmynn0  27035  ltrmxnn0  27036  lermxnn0  27037  rmxnn  27038  ltrmy  27039  rmyeq0  27040  rmyeq  27041  lermy  27042  rmynn  27043  rmynn0  27044  rmyabs  27045  jm2.24nn  27046  jm2.17a  27047  jm2.17b  27048  jm2.17c  27049  jm2.24  27050  rmygeid  27051  jm2.18  27081  jm2.19lem1  27082  jm2.19lem2  27083  jm2.19  27086  jm2.22  27088  jm2.23  27089  jm2.20nn  27090  jm2.25  27092  jm2.26a  27093  jm2.26lem3  27094  jm2.26  27095  jm2.15nn0  27096  jm2.16nn0  27097  jm2.27a  27098  jm2.27c  27100  rmydioph  27107  rmxdiophlem  27108  jm3.1lem1  27110  jm3.1  27113  expdiophlem1  27114
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861
  Copyright terms: Public domain W3C validator