MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovcl Unicode version

Theorem fovcl 5965
Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
fovcl.1  |-  F :
( R  X.  S
) --> C
Assertion
Ref Expression
fovcl  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A F B )  e.  C )

Proof of Theorem fovcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fovcl.1 . . 3  |-  F :
( R  X.  S
) --> C
2 ffnov 5964 . . . 4  |-  ( F : ( R  X.  S ) --> C  <->  ( F  Fn  ( R  X.  S
)  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C ) )
32simprbi 450 . . 3  |-  ( F : ( R  X.  S ) --> C  ->  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C )
41, 3ax-mp 8 . 2  |-  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C
5 oveq1 5881 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x F y )  =  ( A F y ) )
65eleq1d 2362 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x F y )  e.  C  <->  ( A F y )  e.  C ) )
7 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A F y )  =  ( A F B ) )
87eleq1d 2362 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( A F y )  e.  C  <->  ( A F B )  e.  C
) )
96, 8rspc2v 2903 . 2  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C  ->  ( A F B )  e.  C ) )
104, 9mpi 16 1  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A F B )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    X. cxp 4703    Fn wfn 5266   -->wf 5267  (class class class)co 5874
This theorem is referenced by:  addclnq  8585  mulclnq  8587  adderpq  8596  mulerpq  8597  distrnq  8601  axaddcl  8789  axmulcl  8791  xaddcl  10580  xmulcl  10609  elfzoelz  10891  addcnlem  18384  sgmcl  20400  issubgoi  20993  ablomul  21038  hvaddcl  21608  hvmulcl  21609  hicl  21675  rmxynorm  27106  rmxyneg  27108  rmxy1  27110  rmxy0  27111  rmxp1  27120  rmyp1  27121  rmxm1  27122  rmym1  27123  rmxluc  27124  rmyluc  27125  rmyluc2  27126  rmxdbl  27127  rmydbl  27128  rmxypos  27137  ltrmynn0  27138  ltrmxnn0  27139  lermxnn0  27140  rmxnn  27141  ltrmy  27142  rmyeq0  27143  rmyeq  27144  lermy  27145  rmynn  27146  rmynn0  27147  rmyabs  27148  jm2.24nn  27149  jm2.17a  27150  jm2.17b  27151  jm2.17c  27152  jm2.24  27153  rmygeid  27154  jm2.18  27184  jm2.19lem1  27185  jm2.19lem2  27186  jm2.19  27189  jm2.22  27191  jm2.23  27192  jm2.20nn  27193  jm2.25  27195  jm2.26a  27196  jm2.26lem3  27197  jm2.26  27198  jm2.15nn0  27199  jm2.16nn0  27200  jm2.27a  27201  jm2.27c  27203  rmydioph  27210  rmxdiophlem  27211  jm3.1lem1  27213  jm3.1  27216  expdiophlem1  27217
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877
  Copyright terms: Public domain W3C validator