MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovcl Structured version   Unicode version

Theorem fovcl 6175
Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
fovcl.1  |-  F :
( R  X.  S
) --> C
Assertion
Ref Expression
fovcl  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A F B )  e.  C )

Proof of Theorem fovcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fovcl.1 . . 3  |-  F :
( R  X.  S
) --> C
2 ffnov 6174 . . . 4  |-  ( F : ( R  X.  S ) --> C  <->  ( F  Fn  ( R  X.  S
)  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C ) )
32simprbi 451 . . 3  |-  ( F : ( R  X.  S ) --> C  ->  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C )
41, 3ax-mp 8 . 2  |-  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C
5 oveq1 6088 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x F y )  =  ( A F y ) )
65eleq1d 2502 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x F y )  e.  C  <->  ( A F y )  e.  C ) )
7 oveq2 6089 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A F y )  =  ( A F B ) )
87eleq1d 2502 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( A F y )  e.  C  <->  ( A F B )  e.  C
) )
96, 8rspc2v 3058 . 2  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C  ->  ( A F B )  e.  C ) )
104, 9mpi 17 1  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A F B )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    X. cxp 4876    Fn wfn 5449   -->wf 5450  (class class class)co 6081
This theorem is referenced by:  addclnq  8822  mulclnq  8824  adderpq  8833  mulerpq  8834  distrnq  8838  axaddcl  9026  axmulcl  9028  xaddcl  10823  xmulcl  10852  elfzoelz  11140  addcnlem  18894  sgmcl  20929  issubgoi  21898  ablomul  21943  hvaddcl  22515  hvmulcl  22516  hicl  22582  rmxynorm  26981  rmxyneg  26983  rmxy1  26985  rmxy0  26986  rmxp1  26995  rmyp1  26996  rmxm1  26997  rmym1  26998  rmxluc  26999  rmyluc  27000  rmyluc2  27001  rmxdbl  27002  rmydbl  27003  rmxypos  27012  ltrmynn0  27013  ltrmxnn0  27014  lermxnn0  27015  rmxnn  27016  ltrmy  27017  rmyeq0  27018  rmyeq  27019  lermy  27020  rmynn  27021  rmynn0  27022  rmyabs  27023  jm2.24nn  27024  jm2.17a  27025  jm2.17b  27026  jm2.17c  27027  jm2.24  27028  rmygeid  27029  jm2.18  27059  jm2.19lem1  27060  jm2.19lem2  27061  jm2.19  27064  jm2.22  27066  jm2.23  27067  jm2.20nn  27068  jm2.25  27070  jm2.26a  27071  jm2.26lem3  27072  jm2.26  27073  jm2.15nn0  27074  jm2.16nn0  27075  jm2.27a  27076  jm2.27c  27078  rmydioph  27085  rmxdiophlem  27086  jm3.1lem1  27088  jm3.1  27091  expdiophlem1  27092
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084
  Copyright terms: Public domain W3C validator