MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovrn Unicode version

Theorem fovrn 5990
Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
fovrn  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  A  e.  R  /\  B  e.  S
)  ->  ( A F B )  e.  C
)

Proof of Theorem fovrn
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4721 . . 3  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( R  X.  S
) )
2 df-ov 5861 . . . 4  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
3 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( R  X.  S ) )  -> 
( F `  <. A ,  B >. )  e.  C )
42, 3syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( R  X.  S ) )  -> 
( A F B )  e.  C )
51, 4sylan2 460 . 2  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S ) )  -> 
( A F B )  e.  C )
653impb 1147 1  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  A  e.  R  /\  B  e.  S
)  ->  ( A F B )  e.  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   <.cop 3643    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858
This theorem is referenced by:  fovrnda  5991  fovrnd  5992  curry1f  6212  curry2f  6214  eroveu  6753  eroprf  6756  mapxpen  7027  fseqenlem1  7651  axdc4lem  8081  axdc4uzlem  11044  rlimcn2  12064  imasmnd2  14409  grpsubcl  14546  imasgrp2  14610  gass  14755  gasubg  14756  gacan  14759  gapm  14760  gastacos  14764  orbsta  14767  galactghm  14783  sylow1lem2  14910  sylow2alem2  14929  sylow3lem1  14938  efgcpbllemb  15064  frgpuplem  15081  imasrng  15402  tsmsxplem1  17835  tsmsxplem2  17836  isxmet2d  17892  xmetcl  17896  metcl  17897  ismet2  17898  prdsxmetlem  17932  blssm  17968  comet  18059  ipcn  18673  ovoliunlem2  18862  itg1addlem4  19054  itg1addlem5  19055  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  mbfi1fseqlem5  19074  grpocl  20867  grpodivcl  20914  clmgm  20988  rngocl  21049  vccl  21106  nvmcl  21205  cvmlift2lem9  23842  cvmliftphtlem  23848  cljo  25186  clme  25187  expus  25365  grpodivfo  25374  prodvs  25468  prvs  25478  isbnd3  26508  prdsbnd  26517  isdrngo2  26589  iscringd  26624  rmxycomplete  27002  rmxyadd  27006  mamucl  27456  mamulid  27458  mamurid  27459  mamuass  27460  mamudi  27461  mamudir  27462  mamuvs1  27463  mamuvs2  27464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861
  Copyright terms: Public domain W3C validator