MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovrn Unicode version

Theorem fovrn 6006
Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
fovrn  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  A  e.  R  /\  B  e.  S
)  ->  ( A F B )  e.  C
)

Proof of Theorem fovrn
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4737 . . 3  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( R  X.  S
) )
2 df-ov 5877 . . . 4  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
3 ffvelrn 5679 . . . 4  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( R  X.  S ) )  -> 
( F `  <. A ,  B >. )  e.  C )
42, 3syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( R  X.  S ) )  -> 
( A F B )  e.  C )
51, 4sylan2 460 . 2  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S ) )  -> 
( A F B )  e.  C )
653impb 1147 1  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  A  e.  R  /\  B  e.  S
)  ->  ( A F B )  e.  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   <.cop 3656    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874
This theorem is referenced by:  fovrnda  6007  fovrnd  6008  curry1f  6228  curry2f  6230  eroveu  6769  eroprf  6772  mapxpen  7043  fseqenlem1  7667  axdc4lem  8097  axdc4uzlem  11060  rlimcn2  12080  imasmnd2  14425  grpsubcl  14562  imasgrp2  14626  gass  14771  gasubg  14772  gacan  14775  gapm  14776  gastacos  14780  orbsta  14783  galactghm  14799  sylow1lem2  14926  sylow2alem2  14945  sylow3lem1  14954  efgcpbllemb  15080  frgpuplem  15097  imasrng  15418  tsmsxplem1  17851  tsmsxplem2  17852  isxmet2d  17908  xmetcl  17912  metcl  17913  ismet2  17914  prdsxmetlem  17948  blssm  17984  comet  18075  ipcn  18689  ovoliunlem2  18878  itg1addlem4  19070  itg1addlem5  19071  mbfi1fseqlem3  19088  mbfi1fseqlem4  19089  mbfi1fseqlem5  19090  grpocl  20883  grpodivcl  20930  clmgm  21004  rngocl  21065  vccl  21122  nvmcl  21221  cvmlift2lem9  23857  cvmliftphtlem  23863  cljo  25289  clme  25290  expus  25468  grpodivfo  25477  prodvs  25571  prvs  25581  isbnd3  26611  prdsbnd  26620  isdrngo2  26692  iscringd  26727  rmxycomplete  27105  rmxyadd  27109  mamucl  27559  mamulid  27561  mamurid  27562  mamuass  27563  mamudi  27564  mamudir  27565  mamuvs1  27566  mamuvs2  27567
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877
  Copyright terms: Public domain W3C validator