MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fowdom Unicode version

Theorem fowdom 7285
Description: An onto function implies weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fowdom  |-  ( ( F  e.  V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )

Proof of Theorem fowdom
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  F  e.  _V )
2 foeq1 5447 . . . . . 6  |-  ( z  =  F  ->  (
z : Y -onto-> X  <->  F : Y -onto-> X ) )
32spcegv 2869 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F : Y -onto-> X  ->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
43imp 418 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  E. z  z : Y -onto-> X )
54olcd 382 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) )
6 fof 5451 . . . . 5  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  F : Y --> X )
7 dmfex 5424 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y --> X )  ->  Y  e.  _V )
86, 7sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  Y  e.  _V )
9 brwdom 7281 . . . 4  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
115, 10mpbird 223 . 2  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )
121, 11sylan 457 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   -->wf 5251   -onto->wfo 5253    ~<_* cwdom 7271
This theorem is referenced by:  wdomref  7286  wdomtr  7289  wdom2d  7294  wdomima2g  7300  harwdom  7304  ixpiunwdom  7305  isf32lem10  7988  fin1a2lem7  8032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-wdom 7273
  Copyright terms: Public domain W3C validator