MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fowdom Unicode version

Theorem fowdom 7473
Description: An onto function implies weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fowdom  |-  ( ( F  e.  V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )

Proof of Theorem fowdom
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2908 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  F  e.  _V )
2 foeq1 5590 . . . . . 6  |-  ( z  =  F  ->  (
z : Y -onto-> X  <->  F : Y -onto-> X ) )
32spcegv 2981 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F : Y -onto-> X  ->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
43imp 419 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  E. z  z : Y -onto-> X )
54olcd 383 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) )
6 fof 5594 . . . . 5  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  F : Y --> X )
7 dmfex 5567 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y --> X )  ->  Y  e.  _V )
86, 7sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  Y  e.  _V )
9 brwdom 7469 . . . 4  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
115, 10mpbird 224 . 2  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )
121, 11sylan 458 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900   (/)c0 3572   class class class wbr 4154   -->wf 5391   -onto->wfo 5393    ~<_* cwdom 7459
This theorem is referenced by:  wdomref  7474  wdomtr  7477  wdom2d  7482  wdomima2g  7488  harwdom  7492  ixpiunwdom  7493  isf32lem10  8176  fin1a2lem7  8220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fo 5401  df-wdom 7461
  Copyright terms: Public domain W3C validator