Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpar Structured version   Unicode version

Theorem fpar 6442
 Description: Merge two functions in parallel. Use as the second argument of a composition with a (2-place) operation to build compound operations such as . (Contributed by NM, 17-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fpar.1
Assertion
Ref Expression
fpar
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem fpar
StepHypRef Expression
1 fparlem3 6440 . . 3
2 fparlem4 6441 . . 3
31, 2ineqan12d 3536 . 2
4 fpar.1 . 2
5 opex 4419 . . . 4
65dfmpt2 6429 . . 3
7 inxp 4999 . . . . . . . 8
8 inxp 4999 . . . . . . . . . 10
9 inv1 3646 . . . . . . . . . . 11
10 incom 3525 . . . . . . . . . . . 12
11 inv1 3646 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11
139, 12xpeq12i 4892 . . . . . . . . . 10
14 vex 2951 . . . . . . . . . . 11
15 vex 2951 . . . . . . . . . . 11
1614, 15xpsn 5902 . . . . . . . . . 10
178, 13, 163eqtri 2459 . . . . . . . . 9
18 inxp 4999 . . . . . . . . . 10
19 inv1 3646 . . . . . . . . . . 11
20 incom 3525 . . . . . . . . . . . 12
21 inv1 3646 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11
2319, 22xpeq12i 4892 . . . . . . . . . 10
24 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11
25 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11
2624, 25xpsn 5902 . . . . . . . . . 10
2718, 23, 263eqtri 2459 . . . . . . . . 9
2817, 27xpeq12i 4892 . . . . . . . 8
29 opex 4419 . . . . . . . . 9
3029, 5xpsn 5902 . . . . . . . 8
317, 28, 303eqtri 2459 . . . . . . 7
3231a1i 11 . . . . . 6
3332iuneq2i 4103 . . . . 5
3433a1i 11 . . . 4
3534iuneq2i 4103 . . 3
36 2iunin 4151 . . 3
376, 35, 363eqtr2i 2461 . 2
383, 4, 373eqtr4g 2492 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cin 3311  csn 3806  cop 3809  ciun 4085   cxp 4868  ccnv 4869   cres 4872   ccom 4874   wfn 5441  cfv 5446   cmpt2 6075  c1st 6339  c2nd 6340 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342
 Copyright terms: Public domain W3C validator