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Theorem fphpdo 26900
Description: Pigeonhole principle for sets of real numbers with implicit output reordering. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fphpdo.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fphpdo.2  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
fphpdo.3  |-  ( ph  ->  B  ~<  A )
fphpdo.4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  B )
fphpdo.5  |-  ( z  =  x  ->  C  =  D )
fphpdo.6  |-  ( z  =  y  ->  C  =  E )
Assertion
Ref Expression
fphpdo  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
)
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, A, y, z    z, B    x, C, y    y, D, z   
x, E, z
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( z)    D( x)    E( y)

Proof of Theorem fphpdo
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fphpdo.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  ~<  A )
2 fphpdo.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  B )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  |->  C )  =  ( z  e.  A  |->  C )
42, 3fmptd 5684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  C ) : A --> B )
5 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  C ) : A --> B  /\  b  e.  A
)  ->  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  e.  B )
64, 5sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  e.  B )
7 fveq2 5525 . . 3  |-  ( b  =  c  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )
81, 6, 7fphpd 26899 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( b  =/=  c  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c
) ) )
9 fphpdo.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
109sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  RR )
1110adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
b  e.  RR )
1211adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  b  e.  RR )
139sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  A )  ->  c  e.  RR )
1413adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
c  e.  RR )
1514adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  c  e.  RR )
1612, 15lttri2d 8958 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( b  =/=  c  <->  ( b  < 
c  \/  c  < 
b ) ) )
17 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
b  e.  A )
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  b  < 
c )  ->  b  e.  A )
19 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
c  e.  A )
2019ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  b  < 
c )  ->  c  e.  A )
21 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  b  < 
c )  ->  b  <  c )
22 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  b  < 
c )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )
23 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
x  <  y  <->  b  <  y ) )
24 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b ) )
2524eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  <->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y ) ) )
2623, 25anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  <->  ( b  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) ) )
27 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  (
b  <  y  <->  b  <  c ) )
28 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )
2928eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  <->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) ) )
3027, 29anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  c  ->  (
( b  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  <->  ( b  <  c  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) ) ) )
3126, 30rspc2ev 2892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  A  /\  c  e.  A  /\  ( b  <  c  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c
) ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) ) )
3218, 20, 21, 22, 31syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  b  < 
c )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) )
3332ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( b  < 
c  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) ) )
3419ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  c  e.  A )
3517ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  b  e.  A )
36 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  c  <  b )
37 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )
3837eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  c
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b ) )
39 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  c  ->  (
x  <  y  <->  c  <  y ) )
40 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  c  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )
4140eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  c  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  <->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y ) ) )
4239, 41anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  c  ->  (
( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  <->  ( c  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) ) )
43 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  (
c  <  y  <->  c  <  b ) )
44 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b ) )
4544eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  <->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b ) ) )
4643, 45anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  b  ->  (
( c  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  <->  ( c  <  b  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 b ) ) ) )
4742, 46rspc2ev 2892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  A  /\  b  e.  A  /\  ( c  <  b  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b
) ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) ) )
4834, 35, 36, 38, 47syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) )
4948ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( c  < 
b  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) ) )
5033, 49jaod 369 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( ( b  <  c  \/  c  <  b )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) ) )
51 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )
52 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  A  <->  x  e.  A ) )
5352anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  (
( ph  /\  z  e.  A )  <->  ( ph  /\  x  e.  A ) ) )
54 fphpdo.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  C  =  D )
5554eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  ( C  e.  B  <->  D  e.  B ) )
5653, 55imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  B )  <-> 
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B ) ) )
5756, 2chvarv 1953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  D  e.  B )
5954, 3fvmptg 5600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  D )
6051, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  D )
61 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
62 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  A  <->  y  e.  A ) )
6362anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  (
( ph  /\  z  e.  A )  <->  ( ph  /\  y  e.  A ) ) )
64 fphpdo.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  y  ->  C  =  E )
6564eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  ( C  e.  B  <->  E  e.  B ) )
6663, 65imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  B )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  E  e.  B ) ) )
6766, 2chvarv 1953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  E  e.  B )
6867adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  E  e.  B )
6964, 3fvmptg 5600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  E  e.  B )  ->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y )  =  E )
7061, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  =  E )
7160, 70eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  <->  D  =  E
) )
7271biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  ->  D  =  E ) )
7372anim2d 548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  ->  (
x  <  y  /\  D  =  E )
) )
7473reximdva 2655 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  ->  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E ) ) )
7574reximdva 2655 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  < 
y  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
) )
7675ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
) )
7750, 76syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( ( b  <  c  \/  c  <  b )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E ) ) )
7816, 77sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( b  =/=  c  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E ) ) )
7978expimpd 586 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
( ( ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c )  /\  b  =/=  c )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
) )
8079ancomsd 440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
( ( b  =/=  c  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
) )
8180rexlimdvva 2674 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( b  =/=  c  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
) )
828, 81mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255    ~< csdm 6862   RRcr 8736    < clt 8867
This theorem is referenced by:  irrapxlem1  26907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872
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