MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpr Unicode version

Theorem fpr 5720
Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fpr.1  |-  A  e. 
_V
fpr.2  |-  B  e. 
_V
fpr.3  |-  C  e. 
_V
fpr.4  |-  D  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fpr  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)

Proof of Theorem fpr
StepHypRef Expression
1 fpr.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
2 fpr.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3 fpr.3 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
4 fpr.4 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
51, 2, 3, 4funpr 5318 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  ->  Fun  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } )
63, 4dmprop 5164 . . . . 5  |-  dom  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { A ,  B }
75, 6jctir 524 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( Fun  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  /\  dom  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { A ,  B } ) )
8 df-fn 5274 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  <->  ( Fun  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  /\  dom  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { A ,  B }
) )
97, 8sylibr 203 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }
)
10 df-pr 3660 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
1110rneqi 4921 . . . . 5  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ran  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
12 rnun 5105 . . . . 5  |-  ran  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
131rnsnop 5169 . . . . . . 7  |-  ran  { <. A ,  C >. }  =  { C }
142rnsnop 5169 . . . . . . 7  |-  ran  { <. B ,  D >. }  =  { D }
1513, 14uneq12i 3340 . . . . . 6  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  ( { C }  u.  { D } )
16 df-pr 3660 . . . . . 6  |-  { C ,  D }  =  ( { C }  u.  { D } )
1715, 16eqtr4i 2319 . . . . 5  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  { C ,  D }
1811, 12, 173eqtri 2320 . . . 4  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { C ,  D }
1918eqimssi 3245 . . 3  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D }
209, 19jctir 524 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } ) )
21 df-f 5275 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }  <->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  C_  { C ,  D } ) )
2220, 21sylibr 203 1  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654   <.cop 3656   dom cdm 4705   ran crn 4706   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267
This theorem is referenced by:  1sdom  7081  coinfliprv  23698  fprb  24200  axlowdimlem4  24645  fprg  25236  pgapspf2  26156  prfOLD  26468  ftp  26996  wlkntrllem1  28345  wlkntrllem5  28349
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275
  Copyright terms: Public domain W3C validator