MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpr Unicode version

Theorem fpr 5704
Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fpr.1  |-  A  e. 
_V
fpr.2  |-  B  e. 
_V
fpr.3  |-  C  e. 
_V
fpr.4  |-  D  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fpr  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)

Proof of Theorem fpr
StepHypRef Expression
1 fpr.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
2 fpr.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3 fpr.3 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
4 fpr.4 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
51, 2, 3, 4funpr 5302 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  ->  Fun  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } )
63, 4dmprop 5148 . . . . 5  |-  dom  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { A ,  B }
75, 6jctir 524 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( Fun  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  /\  dom  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { A ,  B } ) )
8 df-fn 5258 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  <->  ( Fun  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  /\  dom  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { A ,  B }
) )
97, 8sylibr 203 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }
)
10 df-pr 3647 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
1110rneqi 4905 . . . . 5  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ran  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
12 rnun 5089 . . . . 5  |-  ran  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
131rnsnop 5153 . . . . . . 7  |-  ran  { <. A ,  C >. }  =  { C }
142rnsnop 5153 . . . . . . 7  |-  ran  { <. B ,  D >. }  =  { D }
1513, 14uneq12i 3327 . . . . . 6  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  ( { C }  u.  { D } )
16 df-pr 3647 . . . . . 6  |-  { C ,  D }  =  ( { C }  u.  { D } )
1715, 16eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  { C ,  D }
1811, 12, 173eqtri 2307 . . . 4  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { C ,  D }
1918eqimssi 3232 . . 3  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D }
209, 19jctir 524 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } ) )
21 df-f 5259 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }  <->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  C_  { C ,  D } ) )
2220, 21sylibr 203 1  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641   <.cop 3643   dom cdm 4689   ran crn 4690   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251
This theorem is referenced by:  1sdom  7065  coinfliprv  23683  fprb  24129  axlowdimlem4  24573  fprg  25133  pgapspf2  26053  prfOLD  26365  ftp  26893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259
  Copyright terms: Public domain W3C validator