Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprb Structured version   Unicode version

Theorem fprb 25397
Description: A condition for functionhood over a pair. (Contributed by Scott Fenton, 16-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
fprb.1  |-  A  e. 
_V
fprb.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fprb  |-  ( A  =/=  B  ->  ( F : { A ,  B } --> R  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  R  F  =  { <. A ,  x >. ,  <. B ,  y
>. } ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, F, y    x, R, y

Proof of Theorem fprb
StepHypRef Expression
1 fprb.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
21prid1 3912 . . . . . 6  |-  A  e. 
{ A ,  B }
3 ffvelrn 5868 . . . . . 6  |-  ( ( F : { A ,  B } --> R  /\  A  e.  { A ,  B } )  -> 
( F `  A
)  e.  R )
42, 3mpan2 653 . . . . 5  |-  ( F : { A ,  B } --> R  ->  ( F `  A )  e.  R )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F : { A ,  B } --> R  /\  A  =/=  B )  -> 
( F `  A
)  e.  R )
6 fprb.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
76prid2 3913 . . . . . 6  |-  B  e. 
{ A ,  B }
8 ffvelrn 5868 . . . . . 6  |-  ( ( F : { A ,  B } --> R  /\  B  e.  { A ,  B } )  -> 
( F `  B
)  e.  R )
97, 8mpan2 653 . . . . 5  |-  ( F : { A ,  B } --> R  ->  ( F `  B )  e.  R )
109adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F : { A ,  B } --> R  /\  A  =/=  B )  -> 
( F `  B
)  e.  R )
11 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
121, 11fvpr1 5935 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  ( F `  A )
>. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } `  A
)  =  ( F `
 A ) )
13 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 B )  e. 
_V
146, 13fvpr2 5936 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  ( F `  A )
>. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } `  B
)  =  ( F `
 B ) )
15 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
16 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  ( { <. A ,  ( F `  A )
>. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } `  x
)  =  ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  A ) )
1715, 16eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
)  =  ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  x )  <-> 
( F `  A
)  =  ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  A ) ) )
18 eqcom 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  A )  =  ( { <. A ,  ( F `  A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B ) >. } `  A )  <->  ( { <. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  A )  =  ( F `  A ) )
1917, 18syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
)  =  ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  x )  <-> 
( { <. A , 
( F `  A
) >. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } `  A
)  =  ( F `
 A ) ) )
20 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
21 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( { <. A ,  ( F `  A )
>. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } `  x
)  =  ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  B ) )
2220, 21eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  =  ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  x )  <-> 
( F `  B
)  =  ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  B ) ) )
23 eqcom 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  B )  =  ( { <. A ,  ( F `  A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B ) >. } `  B )  <->  ( { <. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  B )  =  ( F `  B ) )
2422, 23syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  =  ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  x )  <-> 
( { <. A , 
( F `  A
) >. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } `  B
)  =  ( F `
 B ) ) )
251, 6, 19, 24ralpr 3861 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { A ,  B }  ( F `
 x )  =  ( { <. A , 
( F `  A
) >. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } `  x
)  <->  ( ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  A )  =  ( F `  A )  /\  ( { <. A ,  ( F `  A )
>. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } `  B
)  =  ( F `
 B ) ) )
2612, 14, 25sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  B  ->  A. x  e.  { A ,  B }  ( F `  x )  =  ( { <. A ,  ( F `  A )
>. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } `  x
) )
2726adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( F : { A ,  B } --> R  /\  A  =/=  B )  ->  A. x  e.  { A ,  B }  ( F `
 x )  =  ( { <. A , 
( F `  A
) >. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } `  x
) )
28 ffn 5591 . . . . . 6  |-  ( F : { A ,  B } --> R  ->  F  Fn  { A ,  B } )
291, 6, 11, 13fpr 5914 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  ( F `  A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B ) >. } : { A ,  B } --> { ( F `  A ) ,  ( F `  B ) } )
30 ffn 5591 . . . . . . 7  |-  ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } : { A ,  B } --> { ( F `  A ) ,  ( F `  B ) }  ->  {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. }  Fn  { A ,  B } )
3129, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  ( F `  A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B ) >. }  Fn  { A ,  B }
)
32 eqfnfv 5827 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  { A ,  B }  /\  { <. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. }  Fn  { A ,  B } )  -> 
( F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. }  <->  A. x  e.  { A ,  B } 
( F `  x
)  =  ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  x ) ) )
3328, 31, 32syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( F : { A ,  B } --> R  /\  A  =/=  B )  -> 
( F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. }  <->  A. x  e.  { A ,  B } 
( F `  x
)  =  ( {
<. A ,  ( F `
 A ) >. ,  <. B ,  ( F `  B )
>. } `  x ) ) )
3427, 33mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( F : { A ,  B } --> R  /\  A  =/=  B )  ->  F  =  { <. A , 
( F `  A
) >. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } )
35 opeq2 3985 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  A )  ->  <. A ,  x >.  =  <. A , 
( F `  A
) >. )
3635preq1d 3889 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  A )  ->  { <. A ,  x >. ,  <. B ,  y >. }  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. ,  <. B , 
y >. } )
3736eqeq2d 2447 . . . . 5  |-  ( x  =  ( F `  A )  ->  ( F  =  { <. A ,  x >. ,  <. B , 
y >. }  <->  F  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. ,  <. B , 
y >. } ) )
38 opeq2 3985 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  B )  ->  <. B , 
y >.  =  <. B , 
( F `  B
) >. )
3938preq2d 3890 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( F `  B )  ->  { <. A ,  ( F `  A ) >. ,  <. B ,  y >. }  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } )
4039eqeq2d 2447 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  B )  ->  ( F  =  { <. A , 
( F `  A
) >. ,  <. B , 
y >. }  <->  F  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } ) )
4137, 40rspc2ev 3060 . . . 4  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  R  /\  ( F `  B )  e.  R  /\  F  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. ,  <. B , 
( F `  B
) >. } )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  R  F  =  { <. A ,  x >. ,  <. B , 
y >. } )
425, 10, 34, 41syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( F : { A ,  B } --> R  /\  A  =/=  B )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  R  F  =  { <. A ,  x >. ,  <. B , 
y >. } )
4342expcom 425 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  ( F : { A ,  B } --> R  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  R  F  =  { <. A ,  x >. ,  <. B ,  y
>. } ) )
44 vex 2959 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
45 vex 2959 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
461, 6, 44, 45fpr 5914 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  x >. ,  <. B ,  y >. } : { A ,  B } --> { x ,  y } )
47 prssi 3954 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  R )  ->  { x ,  y }  C_  R )
48 fss 5599 . . . . . 6  |-  ( ( { <. A ,  x >. ,  <. B ,  y
>. } : { A ,  B } --> { x ,  y }  /\  { x ,  y } 
C_  R )  ->  { <. A ,  x >. ,  <. B ,  y
>. } : { A ,  B } --> R )
4946, 47, 48syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R
) )  ->  { <. A ,  x >. ,  <. B ,  y >. } : { A ,  B } --> R )
5049ex 424 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( x  e.  R  /\  y  e.  R
)  ->  { <. A ,  x >. ,  <. B , 
y >. } : { A ,  B } --> R ) )
51 feq1 5576 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. A ,  x >. ,  <. B , 
y >. }  ->  ( F : { A ,  B } --> R  <->  { <. A ,  x >. ,  <. B , 
y >. } : { A ,  B } --> R ) )
5251biimprcd 217 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  x >. , 
<. B ,  y >. } : { A ,  B } --> R  ->  ( F  =  { <. A ,  x >. ,  <. B , 
y >. }  ->  F : { A ,  B }
--> R ) )
5350, 52syl6 31 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( x  e.  R  /\  y  e.  R
)  ->  ( F  =  { <. A ,  x >. ,  <. B ,  y
>. }  ->  F : { A ,  B } --> R ) ) )
5453rexlimdvv 2836 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  ( E. x  e.  R  E. y  e.  R  F  =  { <. A ,  x >. ,  <. B , 
y >. }  ->  F : { A ,  B }
--> R ) )
5543, 54impbid 184 1  |-  ( A  =/=  B  ->  ( F : { A ,  B } --> R  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  R  F  =  { <. A ,  x >. ,  <. B ,  y
>. } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   {cpr 3815   <.cop 3817    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462
  Copyright terms: Public domain W3C validator