Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprg Unicode version

Theorem fprg 25133
Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fprg  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)

Proof of Theorem fprg
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . . . 4  |-  ( A  e.  E  ->  A  e.  _V )
2 elex 2796 . . . 4  |-  ( B  e.  F  ->  B  e.  _V )
31, 2anim12i 549 . . 3  |-  ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
4 elex 2796 . . . 4  |-  ( C  e.  G  ->  C  e.  _V )
5 elex 2796 . . . 4  |-  ( D  e.  H  ->  D  e.  _V )
64, 5anim12i 549 . . 3  |-  ( ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  ->  ( C  e.  _V  /\  D  e.  _V )
)
7 neeq1 2454 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  ->  ( A  =/=  B  <->  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  =/=  B
) )
8 opeq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  ->  <. A ,  C >.  =  <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. )
98preq1d 3712 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. B ,  D >. } )
10 preq1 3706 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  ->  { A ,  B }  =  { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  B } )
119, 10feq12d 5381 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }  <->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  B } --> { C ,  D } ) )
127, 11imbi12d 311 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D } )  <->  ( if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  =/= 
B  ->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  B } --> { C ,  D } ) ) )
13 neeq2 2455 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  ( if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  =/= 
B  <->  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) )  =/=  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ) )
14 opeq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  <. B ,  D >.  =  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. )
1514preq2d 3713 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { <. if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  C >. , 
<. if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } )
16 preq2 3707 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  B }  =  { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } )
1715, 16feq12d 5381 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  ( { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  B } --> { C ,  D }  <->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { C ,  D } ) )
1813, 17imbi12d 311 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  =/=  B  ->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  B } --> { C ,  D } )  <->  ( if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  =/= 
if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) )  ->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { C ,  D } ) ) )
19 opeq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( C  =  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) )  ->  <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >.  =  <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. )
2019preq1d 3712 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) )  ->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. }  =  { <. if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } )
21 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) )  ->  { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) }  =  { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } )
22 preq1 3706 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) )  ->  { C ,  D }  =  { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  D } )
23 feq123 25068 . . . . . 6  |-  ( ( { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. }  =  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. }  /\  { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) }  =  { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) }  /\  { C ,  D }  =  { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  D } )  ->  ( { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { C ,  D }  <->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  D } ) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) )  ->  ( { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { C ,  D }  <->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  D } ) )
2524imbi2d 307 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  =/=  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  C >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { C ,  D } )  <->  ( if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  =/= 
if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) )  ->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  D } ) ) )
26 opeq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( D  =  if ( D  e.  _V ,  D ,  (/) )  ->  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >.  =  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) >. )
2726preq2d 3713 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  _V ,  D ,  (/) )  ->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. }  =  { <. if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  if ( D  e.  _V ,  D ,  (/) ) >. } )
28 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  _V ,  D ,  (/) )  ->  { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) }  =  { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } )
29 preq2 3707 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  _V ,  D ,  (/) )  ->  { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  D }  =  { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) } )
30 feq123 25068 . . . . . 6  |-  ( ( { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. }  =  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) >. }  /\  { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) }  =  { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) }  /\  { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  D }  =  { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) } )  -> 
( { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  D }  <->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) } ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  _V ,  D ,  (/) )  ->  ( { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  D }  <->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) } ) )
3231imbi2d 307 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  _V ,  D ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  =/=  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  D >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  D } )  <->  ( if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  =/= 
if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) )  ->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) } ) ) )
33 0ex 4150 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
3433elimel 3617 . . . . 5  |-  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  e. 
_V
3533elimel 3617 . . . . 5  |-  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  e. 
_V
3633elimel 3617 . . . . 5  |-  if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) )  e. 
_V
3733elimel 3617 . . . . 5  |-  if ( D  e.  _V ,  D ,  (/) )  e. 
_V
3834, 35, 36, 37fpr 5704 . . . 4  |-  ( if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  =/= 
if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) )  ->  { <. if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( C  e. 
_V ,  C ,  (/) ) >. ,  <. if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) >. } : { if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) } --> { if ( C  e.  _V ,  C ,  (/) ) ,  if ( D  e. 
_V ,  D ,  (/) ) } )
3912, 18, 25, 32, 38dedth4h 3609 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( C  e.  _V  /\  D  e.  _V )
)  ->  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
) )
403, 6, 39syl2an 463 . 2  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H ) )  -> 
( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D } ) )
41403impia 1148 1  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   ifcif 3565   {cpr 3641   <.cop 3643   -->wf 5251
This theorem is referenced by:  pgapspf2  26053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259
  Copyright terms: Public domain W3C validator