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Theorem fprod 25298
Description: The value of a product over a nonempty finite set. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod.1  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  C )
fprod.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fprod.3  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
fprod.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprod.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  C )
Assertion
Ref Expression
fprod  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A B  =  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
) )
Distinct variable groups:    A, k, n    B, n    C, k   
k, F, n    k, G, n    ph, k    k, M, n    ph, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( n)

Proof of Theorem fprod
Dummy variables  f 
i  j  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-prod 25263 . 2  |-  prod_ k  e.  A B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
2 fvex 5771 . . 3  |-  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
)  e.  _V
3 nfcv 2578 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j if ( k  e.  A ,  B ,  1 )
4 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  j  e.  A
5 nfcsb1v 3282 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
6 nfcv 2578 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
1
74, 5, 6nfif 3787 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  1 )
8 eleq1 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  A  <->  j  e.  A ) )
9 csbeq1a 3275 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
10 eqidd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  1  =  1 )
118, 9, 10ifbieq12d 3785 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  1 ) )
123, 7, 11cbvmpt 4324 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  1 ) )
13 fprod.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1413ralrimiva 2795 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
155nfel1 2588 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  CC
169eleq1d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1715, 16rspc 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1814, 17mpan9 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
19 fveq2 5757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  i  ->  (
f `  n )  =  ( f `  i ) )
2019csbeq1d 3273 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  i  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  k ]_ B )
21 csbco 3276 . . . . . . . . . 10  |-  [_ (
f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  k ]_ B
2220, 21syl6eqr 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B )
2322cbvmptv 4325 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( i  e.  NN  |->  [_ (
f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B
)
2412, 18, 23prodmo 25293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
25 fprod.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
26 fprod.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
27 f1of 5703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( 1 ... M
) --> A )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> A )
29 ovex 6135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
30 fex 5998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... M ) --> A  /\  ( 1 ... M )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
3128, 29, 30sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
32 nnuz 10552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3325, 32syl6eleq 2532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
34 fprod.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  C )
35 elfznn 11111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  ->  n  e.  NN )
3635adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  n  e.  NN )
37 fvex 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G `
 n )  e. 
_V
3834, 37syl6eqelr 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  C  e.  _V )
39 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  C )  =  ( n  e.  NN  |->  C )
4039fvmpt2 5841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  n )  =  C )
4136, 38, 40syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  C ) `  n
)  =  C )
4234, 41eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `
 n ) )
4342ralrimiva 2795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... M ) ( G `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  n ) )
44 nffvmpt1 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k )
4544nfeq2 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( G `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k )
46 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
47 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  e.  NN  |->  C ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k ) )
4846, 47eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  n )  <-> 
( G `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k ) ) )
4945, 48rspc 3052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( A. n  e.  (
1 ... M ) ( G `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `
 n )  -> 
( G `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k ) ) )
5043, 49mpan9 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `
 k ) )
5133, 50seqfveq 11378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `
 M )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M ) )
5226, 51jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M
) ) )
53 f1oeq1 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  <->  F :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
54 fveq1 5756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  n )  =  ( F `  n ) )
5554csbeq1d 3273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  F  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B )
56 fvex 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
57 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k C
58 fprod.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  C )
5956, 57, 58csbief 3291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  C
6055, 59syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  F  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  C )
6160mpteq2dv 4321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (
n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  C ) )
6261seqeq3d 11362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) )
6362fveq1d 5759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `
 M ) )
6463eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  G ) `
 M )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
) ) `  M
)  <->  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M
) ) )
6553, 64anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) )  <->  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M ) ) ) )
6665spcegv 3043 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  _V  ->  (
( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M
) )  ->  E. f
( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) ) )
6731, 52, 66sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) )
68 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  M  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... M
) )
69 f1oeq2 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... M )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
71 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  M ) )
7271eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  G ) `
 M )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
) ) `  m
)  <->  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) )
7370, 72anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) ) )
7473exbidv 1637 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) ) )
7574rspcev 3058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  E. f ( f : ( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) )  ->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
7625, 67, 75syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
7776olcd 384 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
78 breq2 4241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  (  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
) ) )
79783anbi3d 1261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
) ) ) )
8079rexbidv 2732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq  1
(  x.  ,  G
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ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
) ) ) )
81 eqeq1 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  ( x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
8281anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (  seq  1
(  x.  ,  G
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)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
8382exbidv 1637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
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(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
8483rexbidv 2732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq  1
(  x.  ,  G
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( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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8580, 84orbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
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(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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8685moi2 3121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  seq  1
(  x.  ,  G
) `  M )  e.  _V  /\  E* x
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  /\  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
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(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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(  x.  ,  G
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)
872, 86mpanl1 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
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(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
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ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
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(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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(  x.  ,  G
) `  M )
)
8887ancom2s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
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( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
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(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
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(  x.  ,  G
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8988expr 600 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq  1
(  x.  ,  G
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(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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9024, 77, 89syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M ) ) )
9177, 85syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  =  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
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( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
9290, 91impbid 185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
x  =  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
) ) )
9392adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
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x  =  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
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9493iota5 5467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
)  e.  _V )  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
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) )
952, 94mpan2 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
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( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
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) )
961, 95syl5eq 2486 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A B  =  (  seq  1 (  x.  ,  G ) `  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727   E*wmo 2288    =/= wne 2605   A.wral 2711   E.wrex 2712   _Vcvv 2962   [_csb 3267    C_ wss 3306   ifcif 3763   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   iotacio 5445   -->wf 5479   -1-1-onto->wf1o 5482   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   0cc0 9021   1c1 9022    x. cmul 9026   NNcn 10031   ZZcz 10313   ZZ>=cuz 10519   ...cfz 11074    seq cseq 11354    ~~> cli 12309   prod_cprod 25262
This theorem is referenced by:  prod1  25301  fprodf1o  25303  fprodser  25306  fprodcl2lem  25307  fprodmul  25315  fproddiv  25316  prodsn  25317  fprodconst  25333  fprodn0  25334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-prod 25263
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