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Theorem fprodadd 25352
Description: The composite of two finite composites. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fprodadd.1  |-  X  =  dom  dom  G
Assertion
Ref Expression
fprodadd  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) G ( A G B )  =  (
prod_ k  e.  ( M ... N ) G A G prod_ k  e.  ( M ... N
) G B ) )
Distinct variable groups:    k, G    k, M    k, N    k, X
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem fprodadd
Dummy variables  m  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  G  e.  (
SemiGrp  i^i  Com1 ) )
2 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) 
<->  ( G  e.  SemiGrp  /\  G  e.  Com1 ) )
31, 2sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  ( G  e.  SemiGrp 
/\  G  e.  Com1 ) )
43simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  G  e.  SemiGrp )
5 smgrpismgm 20999 . . . . . 6  |-  ( G  e.  SemiGrp  ->  G  e.  Magma )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  G  e.  Magma )
7 fprodadd.1 . . . . . . 7  |-  X  =  dom  dom  G
87clmgm 20988 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Magma  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  e.  X )
983expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Magma  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x G y )  e.  X )
106, 9sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp 
i^i  Com1 ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x G y )  e.  X )
113simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  G  e.  Com1 )
127iscomb 25334 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Com1  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  =  ( y G x ) )
13123expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Com1  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x G y )  =  ( y G x ) )
1411, 13sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp 
i^i  Com1 ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x G y )  =  ( y G x ) )
157smgrpass2 25341 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  SemiGrp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
164, 15sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp 
i^i  Com1 ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
17 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
18 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
1918ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) A  e.  X
)
20193ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  X )
21 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  A )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A )
2221fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  X  <->  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) : ( M ... N
) --> X )
2320, 22sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) : ( M ... N
) --> X )
24 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) : ( M ... N ) --> X  /\  n  e.  ( M ... N
) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  n
)  e.  X )
2523, 24sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp 
i^i  Com1 ) )  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  n )  e.  X
)
26 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
2726ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) B  e.  X
)
28273ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) B  e.  X )
29 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  B )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B )
3029fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) B  e.  X  <->  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) : ( M ... N
) --> X )
3128, 30sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) : ( M ... N
) --> X )
32 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) : ( M ... N ) --> X  /\  n  e.  ( M ... N
) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  n
)  e.  X )
3331, 32sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp 
i^i  Com1 ) )  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  n )  e.  X
)
34 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( A G B )  e. 
_V
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A G B ) )
3635fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  ( A G B )  e.  _V )  -> 
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A G B ) ) `  k )  =  ( A G B ) )
3734, 36mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A G B ) ) `  k
)  =  ( A G B ) )
3837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A G B ) ) `  k
)  =  ( A G B ) )
3921fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  A  e.  X )  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k )  =  A )
4039adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  k
)  =  A )
4129fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  B  e.  X )  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  k )  =  B )
4241adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  k
)  =  B )
4340, 42oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  k
) )  =  ( A G B ) )
4438, 43eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A G B ) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  k
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `  k ) ) )
4544ralimiaa 2617 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) ) `
 k )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 k ) G ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  k ) ) )
46453ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A G B ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  k
) ) )
47 nfmpt1 4109 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A G B ) )
48 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
n
4947, 48nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A G B ) ) `  n )
50 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A )
5150, 48nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  n )
52 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ k G
53 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B )
5453, 48nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  n )
5551, 52, 54nfov 5881 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 n ) G ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  n ) )
5649, 55nfeq 2426 . . . . . 6  |-  F/ k ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A G B ) ) `  n )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  n ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  n
) )
57 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A G B ) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) ) `  n ) )
58 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  k
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  n ) )
59 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `  n ) )
6058, 59oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  n ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  n
) ) )
6157, 60eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A G B ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) ) `  n )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  n ) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `
 n ) ) ) )
6256, 61rspc 2878 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A G B ) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  k
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `  k ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) ) `  n )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  n ) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `
 n ) ) ) )
6346, 62mpan9 455 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp 
i^i  Com1 ) )  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A G B ) ) `  n )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  n ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  n
) ) )
6410, 14, 16, 17, 25, 33, 63seqcaopr 11083 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  (  seq  M
( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) ) ) `  N
)  =  ( (  seq  M ( G ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) ) `
 N ) G (  seq  M ( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) ) `  N ) ) )
65 fprodser 25320 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  prod_ m  e.  ( M ... N
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) ) `  m )  =  (  seq  M
( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) ) ) `  N
) )
6617, 65syl 15 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) ) `
 m )  =  (  seq  M ( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) ) ) `  N ) )
67 fprodser 25320 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  prod_ m  e.  ( M ... N
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  m )  =  (  seq  M
( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) ) `  N
) )
68 fprodser 25320 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  prod_ m  e.  ( M ... N
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `  m )  =  (  seq  M
( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) ) `  N
) )
6967, 68oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  m
) G prod_ m  e.  ( M ... N
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `  m ) )  =  ( (  seq  M ( G ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) ) `
 N ) G (  seq  M ( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) ) `  N ) ) )
7017, 69syl 15 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... N
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  m ) G prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `
 m ) )  =  ( (  seq 
M ( G , 
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) ) `  N ) G (  seq  M ( G ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) ) `
 N ) ) )
7164, 66, 703eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) ) `
 m )  =  ( prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 m ) G
prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  m ) ) )
72 ssid 3197 . . 3  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... N )
7335prodeqfv 25318 . . 3  |-  ( ( M ... N ) 
C_  ( M ... N )  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A G B ) ) `  m
)  =  prod_ k  e.  ( M ... N
) G ( A G B ) )
7472, 73ax-mp 8 . 2  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A G B ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  ( M ... N ) G ( A G B )
7521prodeqfv 25318 . . . 4  |-  ( ( M ... N ) 
C_  ( M ... N )  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  m
)  =  prod_ k  e.  ( M ... N
) G A )
7629prodeqfv 25318 . . . 4  |-  ( ( M ... N ) 
C_  ( M ... N )  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  m
)  =  prod_ k  e.  ( M ... N
) G B )
7775, 76oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( M ... N ) 
C_  ( M ... N )  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  m ) G prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  m
) )  =  (
prod_ k  e.  ( M ... N ) G A G prod_ k  e.  ( M ... N
) G B ) )
7872, 77ax-mp 8 . 2  |-  ( prod_
m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  m ) G prod_ m  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  m
) )  =  (
prod_ k  e.  ( M ... N ) G A G prod_ k  e.  ( M ... N
) G B )
7971, 74, 783eqtr3g 2338 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 ) )  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) G ( A G B )  =  (
prod_ k  e.  ( M ... N ) G A G prod_ k  e.  ( M ... N
) G B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046   Magmacmagm 20985   SemiGrpcsem 20997   prod_cprd 25298   Com1ccm1 25331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-ass 20980  df-mgm 20986  df-sgr 20998  df-prod 25299  df-com1 25332
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