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Theorem fproddiv 25316
Description: The quotient of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmul.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodmul.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodmul.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
fproddiv.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fproddiv  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A
( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fproddiv
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9079 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
21div1i 9773 . . . . 5  |-  ( 1  /  1 )  =  1
32eqcomi 2446 . . . 4  |-  1  =  ( 1  / 
1 )
4 prodeq1 25266 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  prod_ k  e.  (/) ( B  /  C ) )
5 prod0 25300 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/) ( B  /  C )  =  1
64, 5syl6eq 2490 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  1 )
7 prodeq1 25266 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A B  =  prod_ k  e.  (/) B )
8 prod0 25300 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/) B  =  1
97, 8syl6eq 2490 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A B  =  1 )
10 prodeq1 25266 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A C  =  prod_ k  e.  (/) C )
11 prod0 25300 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/) C  =  1
1210, 11syl6eq 2490 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A C  =  1 )
139, 12oveq12d 6128 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( prod_
k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C )  =  ( 1  /  1 ) )
143, 6, 133eqtr4a 2500 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) )
1514a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A
( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) ) )
16 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
17 nnuz 10552 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1816, 17syl6eleq 2532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
19 fprodmul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
20 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2119, 20fmptd 5922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
22 f1of 5703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2322adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
24 fco 5629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2521, 23, 24syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2625ffvelrnda 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
27 fprodmul.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
28 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2927, 28fmptd 5922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
30 fco 5629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3129, 23, 30syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3231ffvelrnda 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
33 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
3433, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
35 fvco3 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
3634, 35sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
3734ffvelrnda 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
38 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
3928fvmpt2 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
4038, 27, 39syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
41 fproddiv.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
4240, 41eqnetrd 2625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =/=  0 )
4342ralrimiva 2795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0
)
4443ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0
)
45 nffvmpt1 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )
46 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
0
4745, 46nfne 2701 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
48 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
4948neeq1d 2620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0  <->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
)  =/=  0 ) )
5047, 49rspc 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
) )
5137, 44, 50sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
)
5236, 51eqnetrd 2625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =/=  0
)
5319, 27, 41divcld 9821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  /  C )  e.  CC )
54 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )
5554fvmpt2 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( B  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `
 k )  =  ( B  /  C
) )
5638, 53, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( B  /  C ) )
5720fvmpt2 5841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
5838, 19, 57syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
5958, 40oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( B  /  C ) )
6056, 59eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ) )
6160ralrimiva 2795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
6261ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
63 nffvmpt1 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )
64 nffvmpt1 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
65 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  /
6664, 65, 45nfov 6133 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  / 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
6763, 66nfeq 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
68 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
69 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
7069, 48oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
7168, 70eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) )  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) ) ) )
7267, 71rspc 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
)  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) ) ) )
7337, 62, 72sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
74 fvco3 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
) )
7534, 74sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
) )
76 fvco3 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
7734, 76sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
7877, 36oveq12d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  / 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  / 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) ) )
7973, 75, 783eqtr4d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  /  (
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ) )
8018, 26, 32, 52, 79prodfdiv 25255 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  /  (  seq  1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
81 fveq2 5757 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
8253, 54fmptd 5922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) : A --> CC )
8382adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) : A --> CC )
8483ffvelrnda 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  e.  CC )
8581, 16, 33, 84, 75fprod 25298 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
86 fveq2 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
8721adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
8887ffvelrnda 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
8986, 16, 33, 88, 77fprod 25298 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
90 fveq2 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
9129adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
9291ffvelrnda 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  e.  CC )
9390, 16, 33, 92, 36fprod 25298 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
9489, 93oveq12d 6128 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  /  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  /  (  seq  1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
9580, 85, 943eqtr4d 2484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  ( prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  /  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ) )
96 prodfc 25302 . . . . . 6  |-  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  A
( B  /  C
)
97 prodfc 25302 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  A B
98 prodfc 25302 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  A C
9997, 98oveq12i 6122 . . . . . 6  |-  ( prod_
m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  /  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) )  =  ( prod_ k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C )
10095, 96, 993eqtr3g 2497 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  ( prod_ k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) )
101100expr 600 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A
( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) ) )
102101exlimdv 1647 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) ) )
103102expimpd 588 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) ) )
104 fprodmul.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
105 fz1f1o 12535 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
106104, 105syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10715, 103, 106mpjaod 372 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A
( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711   (/)c0 3613    e. cmpt 4291    o. ccom 4911   -->wf 5479   -1-1-onto->wf1o 5482   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Fincfn 7138   CCcc 9019   0cc0 9021   1c1 9022    x. cmul 9026    / cdiv 9708   NNcn 10031   ZZ>=cuz 10519   ...cfz 11074    seq cseq 11354   #chash 11649   prod_cprod 25262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-prod 25263
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