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Theorem fproddiv 25274
Description: The quotient of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmul.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodmul.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodmul.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
fproddiv.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fproddiv  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A
( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fproddiv
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9037 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
21div1i 9731 . . . . 5  |-  ( 1  /  1 )  =  1
32eqcomi 2439 . . . 4  |-  1  =  ( 1  / 
1 )
4 prodeq1 25224 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  prod_ k  e.  (/) ( B  /  C ) )
5 prod0 25258 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/) ( B  /  C )  =  1
64, 5syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  1 )
7 prodeq1 25224 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A B  =  prod_ k  e.  (/) B )
8 prod0 25258 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/) B  =  1
97, 8syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A B  =  1 )
10 prodeq1 25224 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A C  =  prod_ k  e.  (/) C )
11 prod0 25258 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/) C  =  1
1210, 11syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A C  =  1 )
139, 12oveq12d 6090 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( prod_
k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C )  =  ( 1  /  1 ) )
143, 6, 133eqtr4a 2493 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) )
1514a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A
( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) ) )
16 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
17 nnuz 10510 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1816, 17syl6eleq 2525 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
19 fprodmul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
20 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2119, 20fmptd 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
22 f1of 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2322adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
24 fco 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2521, 23, 24syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2625ffvelrnda 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
27 fprodmul.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
28 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2927, 28fmptd 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
30 fco 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3129, 23, 30syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3231ffvelrnda 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
33 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
3433, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
35 fvco3 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
3634, 35sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
3734ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
38 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
3928fvmpt2 5803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
4038, 27, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
41 fproddiv.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
4240, 41eqnetrd 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =/=  0 )
4342ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0
)
4443ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0
)
45 nffvmpt1 5727 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )
46 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
0
4745, 46nfne 2689 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
48 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
4948neeq1d 2611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0  <->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
)  =/=  0 ) )
5047, 49rspc 3038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
) )
5137, 44, 50sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
)
5236, 51eqnetrd 2616 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =/=  0
)
5319, 27, 41divcld 9779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  /  C )  e.  CC )
54 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )
5554fvmpt2 5803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( B  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `
 k )  =  ( B  /  C
) )
5638, 53, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( B  /  C ) )
5720fvmpt2 5803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
5838, 19, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
5958, 40oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( B  /  C ) )
6056, 59eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ) )
6160ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
6261ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
63 nffvmpt1 5727 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )
64 nffvmpt1 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
65 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  /
6664, 65, 45nfov 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  / 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
6763, 66nfeq 2578 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
68 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
69 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
7069, 48oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
7168, 70eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) )  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) ) ) )
7267, 71rspc 3038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
)  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) ) ) )
7337, 62, 72sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
74 fvco3 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
) )
7534, 74sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
) )
76 fvco3 5791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
7734, 76sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
7877, 36oveq12d 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  / 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  / 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) ) )
7973, 75, 783eqtr4d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  /  (
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ) )
8018, 26, 32, 52, 79prodfdiv 25213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  /  (  seq  1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
81 fveq2 5719 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
8253, 54fmptd 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) : A --> CC )
8382adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) : A --> CC )
8483ffvelrnda 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  e.  CC )
8581, 16, 33, 84, 75fprod 25256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
86 fveq2 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
8721adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
8887ffvelrnda 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
8986, 16, 33, 88, 77fprod 25256 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
90 fveq2 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
9129adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
9291ffvelrnda 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  e.  CC )
9390, 16, 33, 92, 36fprod 25256 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
9489, 93oveq12d 6090 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  /  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  /  (  seq  1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
9580, 85, 943eqtr4d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  ( prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  /  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ) )
96 prodfc 25260 . . . . . 6  |-  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  A
( B  /  C
)
97 prodfc 25260 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  A B
98 prodfc 25260 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  A C
9997, 98oveq12i 6084 . . . . . 6  |-  ( prod_
m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  /  prod_ m  e.  A ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) )  =  ( prod_ k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C )
10095, 96, 993eqtr3g 2490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  ( prod_ k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) )
101100expr 599 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A
( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) ) )
102101exlimdv 1646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) ) )
103102expimpd 587 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) ) )
104 fprodmul.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
105 fz1f1o 12492 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
106104, 105syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10715, 103, 106mpjaod 371 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A
( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A B  /  prod_ k  e.  A C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   (/)c0 3620    e. cmpt 4258    o. ccom 4873   -->wf 5441   -1-1-onto->wf1o 5444   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Fincfn 7100   CCcc 8977   0cc0 8979   1c1 8980    x. cmul 8984    / cdiv 9666   NNcn 9989   ZZ>=cuz 10477   ...cfz 11032    seq cseq 11311   #chash 11606   prod_cprod 25220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-prod 25221
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