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Theorem fprodneg 25378
Description: The inverse of a finite composite in the case of an abelian group. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodneg.1  |-  X  =  ran  G
fprodneg.2  |-  N  =  ( inv `  G
)
Assertion
Ref Expression
fprodneg  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  ( N `  prod_ k  e.  ( M1 ... M 2 ) G A )  =  prod_ k  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( N `  A ) )
Distinct variable groups:    k, M1    k, M 2    k, N    k, X
Allowed substitution hints:    A( k)    G( k)

Proof of Theorem fprodneg
Dummy variables  x  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  G  e.  AbelOp )
2 ablogrpo 20951 . . . . . 6  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  G  e.  GrpOp )
4 fprodneg.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ran  G
54grpocl 20867 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  e.  X )
653expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x G y )  e.  X )
73, 6sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x G y )  e.  X )
8 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X )
9 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A )  =  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A )
109fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  <->  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) : ( M1 ... M 2 ) --> X )
118, 10sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  (
k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) : ( M1 ... M 2 ) --> X )
12 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) : (
M1 ... M 2 ) --> X  /\  x  e.  (
M1 ... M 2 )
)  ->  ( (
k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `  x )  e.  X )
1311, 12sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  /\  x  e.  ( M1 ... M 2 ) )  -> 
( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `
 x )  e.  X )
14 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 ) )
154ablocom 20952 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  =  ( y G x ) )
16153expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x G y )  =  ( y G x ) )
171, 16sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x G y )  =  ( y G x ) )
1817fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( N `  ( x G y ) )  =  ( N `  ( y G x ) ) )
193adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  G  e.  GrpOp
)
20 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  y  e.  X )
21 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  x  e.  X )
22 fprodneg.2 . . . . . . 7  |-  N  =  ( inv `  G
)
234, 22grpoinvop 20908 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( y G x ) )  =  ( ( N `
 x ) G ( N `  y
) ) )
2419, 20, 21, 23syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( N `  ( y G x ) )  =  ( ( N `  x
) G ( N `
 y ) ) )
2518, 24eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( N `  ( x G y ) )  =  ( ( N `  x
) G ( N `
 y ) ) )
269fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  /\  A  e.  X )  ->  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `
 k )  =  A )
2726fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  (
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  k
) )  =  ( N `  A ) )
28 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 A )  e. 
_V
29 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `
 A ) )  =  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `
 A ) )
3029fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  /\  ( N `  A )  e.  _V )  -> 
( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `
 A ) ) `
 k )  =  ( N `  A
) )
3128, 30mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  ->  (
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  k
)  =  ( N `
 A ) )
3231adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  /\  A  e.  X )  ->  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `
 A ) ) `
 k )  =  ( N `  A
) )
3327, 32eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  (
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  k
) )  =  ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  k
) )
3433ralimiaa 2617 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  ->  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) ( N `
 ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `
 k ) )  =  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `
 A ) ) `
 k ) )
35343ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) ( N `
 ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `
 k ) )  =  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `
 A ) ) `
 k ) )
36 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ k N
37 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A )
38 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
x
3937, 38nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `
 x )
4036, 39nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( N `  (
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  x
) )
41 nfmpt1 4109 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) )
4241, 38nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `
 A ) ) `
 x )
4340, 42nfeq 2426 . . . . . 6  |-  F/ k ( N `  (
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  x
) )  =  ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  x
)
44 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  k
)  =  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `  x ) )
4544fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( N `  ( (
k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `  k ) )  =  ( N `
 ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `
 x ) ) )
46 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  (
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A ) ) `  x ) )
4745, 46eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  (
( N `  (
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  k
) )  =  ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  k
)  <->  ( N `  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `
 x ) )  =  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `
 A ) ) `
 x ) ) )
4843, 47rspc 2878 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M1 ... M 2 )  ->  ( A. k  e.  ( M1 ... M 2 )
( N `  (
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  k
) )  =  ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  k
)  ->  ( N `  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `
 x ) )  =  ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `
 A ) ) `
 x ) ) )
4935, 48mpan9 455 . . . 4  |-  ( ( ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  /\  x  e.  ( M1 ... M 2 ) )  -> 
( N `  (
( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  x
) )  =  ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  x
) )
507, 13, 14, 25, 49seqhomo 11093 . . 3  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  ( N `  (  seq  M1 ( G ,  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) ) `  M 2 ) )  =  (  seq  M1 ( G ,  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `
 A ) ) ) `  M 2
) )
51 fprodser 25320 . . . . 5  |-  ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  ->  prod_ m  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  m
)  =  (  seq  M1 ( G ,  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) ) `  M 2 ) )
52513ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  prod_ m  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  m
)  =  (  seq  M1 ( G ,  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) ) `  M 2 ) )
5352fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  ( N `  prod_ m  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  m
) )  =  ( N `  (  seq  M1 ( G ,  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) ) `  M 2 ) ) )
54 fprodser 25320 . . . 4  |-  ( M 2  e.  ( ZZ>= `  M1 )  ->  prod_ m  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  m
)  =  (  seq  M1 ( G ,  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A ) ) ) `  M 2 ) )
55543ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  prod_ m  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  m
)  =  (  seq  M1 ( G ,  ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A ) ) ) `  M 2 ) )
5650, 53, 553eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  ( N `  prod_ m  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  m
) )  =  prod_ m  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  m
) )
57 ssid 3197 . . . 4  |-  ( M1 ... M 2 )  C_  ( M1 ... M 2
)
589prodeqfv 25318 . . . 4  |-  ( (
M1 ... M 2 )  C_  ( M1 ... M 2 )  ->  prod_ m  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  m
)  =  prod_ k  e.  ( M1 ... M 2 ) G A )
5957, 58ax-mp 8 . . 3  |-  prod_ m  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  A ) `  m
)  =  prod_ k  e.  ( M1 ... M 2 ) G A
6059fveq2i 5528 . 2  |-  ( N `
 prod_ m  e.  (
M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  ( M1 ... M 2 )  |->  A ) `
 m ) )  =  ( N `  prod_ k  e.  ( M1 ... M 2 ) G A )
6129prodeqfv 25318 . . 3  |-  ( (
M1 ... M 2 )  C_  ( M1 ... M 2 )  ->  prod_ m  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  m
)  =  prod_ k  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( N `  A ) )
6257, 61ax-mp 8 . 2  |-  prod_ m  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( ( k  e.  (
M1 ... M 2 )  |->  ( N `  A
) ) `  m
)  =  prod_ k  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( N `  A )
6356, 60, 623eqtr3g 2338 1  |-  ( ( M 2  e.  (
ZZ>= `  M1 )  /\  A. k  e.  ( M1 ... M 2 ) A  e.  X  /\  G  e.  AbelOp )  ->  ( N `  prod_ k  e.  ( M1 ... M 2 ) G A )  =  prod_ k  e.  ( M1 ... M 2 ) G ( N `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046   GrpOpcgr 20853   invcgn 20855   AbelOpcablo 20948   prod_cprd 25298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-ablo 20949  df-prod 25299
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