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Theorem fprodser 25267
Description: A finite product expressed in terms of a partial product of an infinite sequence. The recursive definition of a finite product follows from here. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodser.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  A )
fprodser.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fprodser.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodser  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  (  seq 
M (  x.  ,  F ) `  N
) )
Distinct variable groups:    k, F    ph, k    k, M    k, N
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fprodser
Dummy variables  j  m  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfc 25263 . 2  |-  prod_ j  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 j )  = 
prod_ k  e.  ( M ... N ) A
2 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( j  =  ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) ) `
 m )  -> 
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  j )  =  ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  (
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m
) ) )
3 fprodser.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzelz 10488 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
65zcnd 10368 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
7 eluzel2 10485 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
83, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98zcnd 10368 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
10 ax-1cn 9040 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
126, 9, 11subadd23d 9425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  +  1 )  =  ( N  +  ( 1  -  M ) ) )
1312eqcomd 2440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  M ) )  =  ( ( N  -  M )  +  1 ) )
14 uznn0sub 10509 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
153, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
16 nn0p1nn 10251 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  M )  +  1 )  e.  NN )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  +  1 )  e.  NN )
1813, 17eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  M ) )  e.  NN )
1911, 9pncan3d 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( M  -  1 ) )  =  M )
206, 11, 9pnpncand 25199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  -  M
) )  +  ( M  -  1 ) )  =  N )
2119, 20oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... (
( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) )  =  ( M ... N ) )
2221eleq2d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( p  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )  <-> 
p  e.  ( M ... N ) ) )
2322biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... (
( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) ) )  ->  p  e.  ( M ... N
) )
24 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( M ... N )  ->  p  e.  ZZ )
2524zcnd 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ( M ... N )  ->  p  e.  CC )
2625adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  p  e.  CC )
27 peano2zm 10312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
288, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
2928zcnd 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  CC )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  CC )
3126, 30npcand 9407 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
p  -  ( M  -  1 ) )  +  ( M  - 
1 ) )  =  p )
32 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  p  e.  ( M ... N ) )
3331, 32eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
p  -  ( M  -  1 ) )  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( M ... N
) )
34 ovex 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  -  ( M  - 
1 ) )  e. 
_V
35 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  -  ( M  -  1
) )  ->  (
n  +  ( M  -  1 ) )  =  ( ( p  -  ( M  - 
1 ) )  +  ( M  -  1 ) ) )
3635eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  -  ( M  -  1
) )  ->  (
( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  <->  ( (
p  -  ( M  -  1 ) )  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( M ... N
) ) )
3734, 36sbcie 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( p  -  ( M  -  1 ) )  /  n ]. ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  <->  ( (
p  -  ( M  -  1 ) )  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( M ... N
) )
3833, 37sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  [. ( p  -  ( M  - 
1 ) )  /  n ]. ( n  +  ( M  -  1
) )  e.  ( M ... N ) )
3923, 38syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... (
( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) ) )  ->  [. (
p  -  ( M  -  1 ) )  /  n ]. (
n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
4039ralrimiva 2781 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )
[. ( p  -  ( M  -  1
) )  /  n ]. ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
41 1z 10303 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4241a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4318nnzd 10366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  M ) )  e.  ZZ )
44 fzshftral 11126 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( N  +  (
1  -  M ) )  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ( n  +  ( M  -  1
) )  e.  ( M ... N )  <->  A. p  e.  (
( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )
[. ( p  -  ( M  -  1
) )  /  n ]. ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) ) )
4542, 43, 28, 44syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ( n  +  ( M  -  1
) )  e.  ( M ... N )  <->  A. p  e.  (
( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )
[. ( p  -  ( M  -  1
) )  /  n ]. ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) ) )
4640, 45mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
478adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
485adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
4924adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  p  e.  ZZ )
5028adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
51 fzsubel 11080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  ( M  -  1 )  e.  ZZ ) )  -> 
( p  e.  ( M ... N )  <-> 
( p  -  ( M  -  1 ) )  e.  ( ( M  -  ( M  -  1 ) ) ... ( N  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
5247, 48, 49, 50, 51syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( p  e.  ( M ... N
)  <->  ( p  -  ( M  -  1
) )  e.  ( ( M  -  ( M  -  1 ) ) ... ( N  -  ( M  - 
1 ) ) ) ) )
5332, 52mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( p  -  ( M  - 
1 ) )  e.  ( ( M  -  ( M  -  1
) ) ... ( N  -  ( M  -  1 ) ) ) )
549, 11nncand 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
556, 9, 11subsub2d 9432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  ( M  -  1 ) )  =  ( N  +  ( 1  -  M ) ) )
5654, 55oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  ( M  -  1
) ) ... ( N  -  ( M  -  1 ) ) )  =  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) )
5756adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( M  -  ( M  -  1 ) ) ... ( N  -  ( M  -  1
) ) )  =  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )
5853, 57eleqtrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( p  -  ( M  - 
1 ) )  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )
5931eqcomd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  p  =  ( ( p  -  ( M  -  1
) )  +  ( M  -  1 ) ) )
6035eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( p  -  ( M  -  1
) )  ->  (
p  =  ( n  +  ( M  - 
1 ) )  <->  p  =  ( ( p  -  ( M  -  1
) )  +  ( M  -  1 ) ) ) )
6160rspcev 3044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  -  ( M  -  1 ) )  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  /\  p  =  ( (
p  -  ( M  -  1 ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )  ->  E. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) p  =  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) )
6258, 59, 61syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  E. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) ) )
63 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
6463zcnd 10368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  ->  n  e.  CC )
65 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
6665zcnd 10368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  ->  m  e.  CC )
6764, 66anim12i 550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )
68 eqtr2 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  ( n  +  ( M  - 
1 ) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )  ->  ( n  +  ( M  -  1
) )  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )
69 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  n  e.  CC )
70 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  m  e.  CC )
7129adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  -> 
( M  -  1 )  e.  CC )
7269, 70, 71addcan2d 9262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  -> 
( ( n  +  ( M  -  1
) )  =  ( m  +  ( M  -  1 ) )  <-> 
n  =  m ) )
7368, 72syl5ib 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  -> 
( ( p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  ->  n  =  m ) )
7467, 73sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ) )  -> 
( ( p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  ->  n  =  m ) )
7574ralrimivva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) A. m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ( ( p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  ->  n  =  m ) )
7675adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) A. m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ( ( p  =  ( n  +  ( M  -  1
) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  -  1
) ) )  ->  n  =  m )
)
77 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  ( M  -  1 ) )  =  ( m  +  ( M  -  1
) ) )
7877eqeq2d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
p  =  ( n  +  ( M  - 
1 ) )  <->  p  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) ) )
7978reu4 3120 . . . . . . 7  |-  ( E! n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) p  =  ( n  +  ( M  -  1
) )  <->  ( E. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) p  =  ( n  +  ( M  -  1
) )  /\  A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) A. m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) ( ( p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  ->  n  =  m ) ) )
8062, 76, 79sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  E! n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) ) )
8180ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. p  e.  ( M ... N ) E! n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) p  =  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) )
82 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1
) ) )
8382f1ompt 5883 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <->  ( A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  /\  A. p  e.  ( M ... N ) E! n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) )
8446, 81, 83sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
85 fprodser.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
86 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  A )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A )
8785, 86fmptd 5885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) : ( M ... N ) --> CC )
8887ffvelrnda 5862 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  j )  e.  CC )
89 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )
9041a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
9143adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  ( N  +  ( 1  -  M ) )  e.  ZZ )
9265adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
9328adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
94 fzaddel 11079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( N  +  ( 1  -  M ) )  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  -  1 )  e.  ZZ ) )  -> 
( m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  <-> 
( m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) ) ) )
9590, 91, 92, 93, 94syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  <->  ( m  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... (
( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) ) ) )
9689, 95mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( ( 1  +  ( M  - 
1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M
) )  +  ( M  -  1 ) ) ) )
9721adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )  =  ( M ... N ) )
9896, 97eleqtrd 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
99 fprodser.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  A )
10099ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  =  A )
101 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ ( m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A
102101nfeq2 2582 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( F `  (
m  +  ( M  -  1 ) ) )  =  [_ (
m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A
103 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( m  +  ( M  -  1
) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( m  +  ( M  -  1 ) ) ) )
104 csbeq1a 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( m  +  ( M  -  1
) )  ->  A  =  [_ ( m  +  ( M  -  1
) )  /  k ]_ A )
105103, 104eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( m  +  ( M  -  1
) )  ->  (
( F `  k
)  =  A  <->  ( F `  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  =  [_ ( m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A ) )
106102, 105rspc 3038 . . . . . . 7  |-  ( ( m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  =  A  ->  ( F `  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )  =  [_ ( m  +  ( M  - 
1 ) )  / 
k ]_ A ) )
107100, 106mpan9 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )  =  [_ ( m  +  ( M  - 
1 ) )  / 
k ]_ A )
10898, 107syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  ( F `  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )  =  [_ ( m  +  ( M  - 
1 ) )  / 
k ]_ A )
109 f1of 5666 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N )  -> 
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) --> ( M ... N
) )
11084, 109syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) --> ( M ... N
) )
111 fvco3 5792 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) --> ( M ... N
)  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( F  o.  (
n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) ) `  m
)  =  ( F `
 ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) ) `
 m ) ) )
112110, 111sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( F  o.  (
n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) ) `  m
)  =  ( F `
 ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) ) `
 m ) ) )
113 ovex 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( m  +  ( M  - 
1 ) )  e. 
_V
11477, 82, 113fvmpt 5798 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m
)  =  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )
115114adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m
)  =  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )
116115fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  ( F `  ( (
n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m ) )  =  ( F `
 ( m  +  ( M  -  1
) ) ) )
117112, 116eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( F  o.  (
n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) ) `  m
)  =  ( F `
 ( m  +  ( M  -  1
) ) ) )
118115fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  (
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m
) )  =  ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  (
m  +  ( M  -  1 ) ) ) )
11985ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
120101nfel1 2581 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ ( m  +  ( M  -  1
) )  /  k ]_ A  e.  CC
121104eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( m  +  ( M  -  1
) )  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ ( m  +  ( M  - 
1 ) )  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
122120, 121rspc 3038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  [_ (
m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A  e.  CC ) )
123119, 122mpan9 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( M ... N
) )  ->  [_ (
m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A  e.  CC )
12498, 123syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  [_ (
m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A  e.  CC )
12586fvmpts 5799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  /\  [_ ( m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  =  [_ ( m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A )
12698, 124, 125syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  (
m  +  ( M  -  1 ) ) )  =  [_ (
m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A
)
127118, 126eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  (
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m
) )  =  [_ ( m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A )
128108, 117, 1273eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( F  o.  (
n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m ) ) )
1292, 18, 84, 88, 128fprod 25259 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  j )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F  o.  ( n  e.  (
1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) ) ) `  ( N  +  (
1  -  M ) ) ) )
130 nnuz 10513 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13118, 130syl6eleq 2525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  M ) )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
132131, 28, 117seqshft2 11341 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F  o.  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1
) ) ) ) ) `  ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  =  (  seq  (
1  +  ( M  -  1 ) ) (  x.  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) ) )
13319seqeq1d 11321 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  ( 1  +  ( M  -  1 ) ) (  x.  ,  F )  =  seq  M (  x.  ,  F ) )
134133, 20fveq12d 5726 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  ( 1  +  ( M  - 
1 ) ) (  x.  ,  F ) `
 ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) )  =  (  seq  M (  x.  ,  F ) `
 N ) )
135129, 132, 1343eqtrd 2471 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  j )  =  (  seq  M (  x.  ,  F ) `  N ) )
1361, 135syl5eqr 2481 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  (  seq 
M (  x.  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   E!wreu 2699   [.wsbc 3153   [_csb 3243    e. cmpt 4258    o. ccom 4874   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035    seq cseq 11315   prod_cprod 25223
This theorem is referenced by:  fprodfac  25288  iprodclim3  25305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-prod 25224
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