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Theorem fprodsub 25379
Description: The "difference" (or "quotient") of two finite composites. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsub.1  |-  X  =  ran  G
fprodsub.2  |-  D  =  (  /g  `  G
)
Assertion
Ref Expression
fprodsub  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) G ( A D B )  =  ( prod_ k  e.  ( M ... N
) G A D
prod_ k  e.  ( M ... N ) G B ) )
Distinct variable groups:    k, M    k, N    D, k    k, X
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)    G( k)

Proof of Theorem fprodsub
Dummy variables  u  n  v  w  x  y  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  G  e.  AbelOp )
2 ablogrpo 20951 . . . . . 6  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  G  e.  GrpOp )
4 fprodsub.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ran  G
54grpocl 20867 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  e.  X )
653expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x G y )  e.  X )
73, 6sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x G y )  e.  X )
8 fprodsub.2 . . . . . . 7  |-  D  =  (  /g  `  G
)
94, 8grpodivcl 20914 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x D y )  e.  X )
1093expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x D y )  e.  X )
113, 10sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x D y )  e.  X )
12 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  G  e.  AbelOp )
13 simprll 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  x  e.  X
)
14 simprlr 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  y  e.  X
)
15 simprrl 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  z  e.  X
)
164, 8ablomuldiv 20956 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G y ) D z )  =  ( ( x D z ) G y ) )
1712, 13, 14, 15, 16syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  ( ( x G y ) D z )  =  ( ( x D z ) G y ) )
1817oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( x G y ) D z ) D w )  =  ( ( ( x D z ) G y ) D w ) )
192adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
2019, 13, 14, 5syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  ( x G y )  e.  X
)
21 simprrr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  w  e.  X
)
224, 8ablodivdiv4 20958 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x G y )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
( x G y ) D z ) D w )  =  ( ( x G y ) D ( z G w ) ) )
2312, 20, 15, 21, 22syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( x G y ) D z ) D w )  =  ( ( x G y ) D ( z G w ) ) )
244, 8grpodivcl 20914 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
x D z )  e.  X )
2519, 13, 15, 24syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  ( x D z )  e.  X
)
264, 8grpomuldivass 20916 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( x D z )  e.  X  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
( x D z ) G y ) D w )  =  ( ( x D z ) G ( y D w ) ) )
2719, 25, 14, 21, 26syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( x D z ) G y ) D w )  =  ( ( x D z ) G ( y D w ) ) )
2818, 23, 273eqtr3rd 2324 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )  ->  ( ( x D z ) G ( y D w ) )  =  ( ( x G y ) D ( z G w ) ) )
291, 28sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  /\  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
) )  ->  (
( x D z ) G ( y D w ) )  =  ( ( x G y ) D ( z G w ) ) )
30 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
3231ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) A  e.  X
)
33323ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) A  e.  X
)
34 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  A )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A )
3534fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  X  <->  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) : ( M ... N
) --> X )
3633, 35sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  |->  A ) : ( M ... N ) --> X )
37 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) : ( M ... N ) --> X  /\  n  e.  ( M ... N
) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  n
)  e.  X )
3836, 37sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  n )  e.  X
)
39 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
4039ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) B  e.  X
)
41403ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) B  e.  X
)
42 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  B )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B )
4342fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) B  e.  X  <->  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) : ( M ... N
) --> X )
4441, 43sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  |->  B ) : ( M ... N ) --> X )
45 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) : ( M ... N ) --> X  /\  n  e.  ( M ... N
) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  n
)  e.  X )
4644, 45sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  n )  e.  X
)
47 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( A D B )  e. 
_V
48 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A D B ) )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A D B ) )
4948fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  ( A D B )  e.  _V )  -> 
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A D B ) ) `  k )  =  ( A D B ) )
5047, 49mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A D B ) ) `  k
)  =  ( A D B ) )
5150adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A D B ) ) `  k
)  =  ( A D B ) )
5234fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  A  e.  X )  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k )  =  A )
5342fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  B  e.  X )  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  k )  =  B )
5452, 53anim12dan 810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k )  =  A  /\  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `
 k )  =  B ) )
55 oveq12 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k )  =  A  /\  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `
 k )  =  B )  ->  (
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k ) D ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  k
) )  =  ( A D B ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k ) D ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  k
) )  =  ( A D B ) )
5751, 56eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( M ... N )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A D B ) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  k
) D ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `  k ) ) )
5857ralimiaa 2617 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A D B ) ) `
 k )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 k ) D ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  k ) ) )
59583ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A D B ) ) `
 k )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 k ) D ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  k ) ) )
60 nfmpt1 4109 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A D B ) )
61 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
n
6260, 61nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A D B ) ) `  n )
63 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A )
6463, 61nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  n )
65 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ k D
66 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B )
6766, 61nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  n )
6864, 65, 67nfov 5881 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 n ) D ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  B ) `  n ) )
6962, 68nfeq 2426 . . . . . 6  |-  F/ k ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A D B ) ) `  n )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  n ) D ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  n
) )
70 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A D B ) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A D B ) ) `  n ) )
71 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  k
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  n ) )
72 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `  n ) )
7371, 72oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k ) D ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  n ) D ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  n
) ) )
7470, 73eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A D B ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  k ) D ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  ( A D B ) ) `  n )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  n ) D ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `
 n ) ) ) )
7569, 74rspc 2878 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A D B ) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  k
) D ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `  k ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  ( A D B ) ) `  n )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  n ) D ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `
 n ) ) ) )
7659, 75mpan9 455 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( A D B ) ) `  n )  =  ( ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  n ) D ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  n
) ) )
777, 11, 29, 30, 38, 46, 76seqcaopr2 11082 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  (  seq  M ( G , 
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A D B ) ) ) `  N )  =  ( (  seq  M ( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) ) `  N ) D (  seq  M
( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) ) `  N
) ) )
78 fprodser 25320 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  prod_ v  e.  ( M ... N
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A D B ) ) `  v )  =  (  seq  M
( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A D B ) ) ) `  N
) )
79783ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  prod_ v  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A D B ) ) `  v
)  =  (  seq 
M ( G , 
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A D B ) ) ) `  N ) )
80 fprodser 25320 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  prod_ u  e.  ( M ... N
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  u )  =  (  seq  M
( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) ) `  N
) )
81 fprodser 25320 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  prod_ t  e.  ( M ... N
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `  t )  =  (  seq  M
( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) ) `  N
) )
8280, 81oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( prod_ u  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  u
) D prod_ t  e.  ( M ... N
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) `  t ) )  =  ( (  seq  M ( G ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) ) `
 N ) D (  seq  M ( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) ) `  N ) ) )
83823ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  ( prod_ u  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  u ) D prod_ t  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  t
) )  =  ( (  seq  M ( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) ) `  N ) D (  seq  M
( G ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  B ) ) `  N
) ) )
8477, 79, 833eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  prod_ v  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A D B ) ) `  v
)  =  ( prod_
u  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  u ) D prod_ t  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  t
) ) )
85 ssid 3197 . . 3  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... N )
8648prodeqfv 25318 . . 3  |-  ( ( M ... N ) 
C_  ( M ... N )  ->  prod_ v  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( A D B ) ) `  v
)  =  prod_ k  e.  ( M ... N
) G ( A D B ) )
8785, 86ax-mp 8 . 2  |-  prod_ v  e.  ( M ... N
) G ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( A D B ) ) `  v )  =  prod_ k  e.  ( M ... N ) G ( A D B )
8834prodeqfv 25318 . . . 4  |-  ( ( M ... N ) 
C_  ( M ... N )  ->  prod_ u  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  u
)  =  prod_ k  e.  ( M ... N
) G A )
8942prodeqfv 25318 . . . 4  |-  ( ( M ... N ) 
C_  ( M ... N )  ->  prod_ t  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  t
)  =  prod_ k  e.  ( M ... N
) G B )
9088, 89oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( M ... N ) 
C_  ( M ... N )  ->  ( prod_ u  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  u ) D prod_ t  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  t
) )  =  (
prod_ k  e.  ( M ... N ) G A D prod_ k  e.  ( M ... N
) G B ) )
9185, 90ax-mp 8 . 2  |-  ( prod_
u  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  u ) D prod_ t  e.  ( M ... N ) G ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  B ) `  t
) )  =  (
prod_ k  e.  ( M ... N ) G A D prod_ k  e.  ( M ... N
) G B )
9284, 87, 913eqtr3g 2338 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  G  e.  AbelOp )  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) G ( A D B )  =  ( prod_ k  e.  ( M ... N
) G A D
prod_ k  e.  ( M ... N ) G B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046   GrpOpcgr 20853    /g cgs 20856   AbelOpcablo 20948   prod_cprd 25298
This theorem is referenced by:  svli2  25484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-prod 25299
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